Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
g(x)=\log (x-2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função g:
  • Determinar o domínio de g, sendo g(x)=\log(x-2).
  • Construir (descrever) o gráfico de g e identificar como o gráfico se relaciona com gráficos de funções do mesmo tipo.
Informações dadas:
  • A função é g(x)=\log(x-2).
  • Não foi especificada a base do logaritmo; portanto, trabalho com a forma geral \log_b com b>0 e b\neq1. As propriedades que vou usar valem para qualquer base admissível.

Passo 2

Entender quando a expressão logarítmica está definida (revisão didática):
  • Por definição, \log_b(a) está definida somente quando o argumento a é positivo, isto é, quando a>0. Aqui b é a base do logaritmo, com b>0 e b\neq1.
  • Aplicando isso a g: o argumento do log é x-2. Logo a condição de existência é
x-2>0.
  • Resolvendo essa desigualdade obtemos
x>2.
Portanto o domínio de g é o conjunto de todos os x tais que x>2, isto é, o intervalo (2,\infty).
Explicação extra (por que a desigualdade dá o domínio): quando x-2>0 podemos escrever y=\log_b(x-2) e reescrever como b^{y}=x-2. Como b^{y} toma todos os valores positivos quando y varia em (-\infty,\infty), o valor de x resultante varia em (2,\infty). Assim a faixa de x compatível com algum y é exatamente (2,\infty).

Passo 3

Determinar a imagem (faixa de valores) e assíntotas — conceitos importantes para desenhar o gráfico:
  • A imagem (ou conjunto de valores possíveis de g(x)) é todo o conjunto dos números reais: (-\infty,\infty). Razão: para qualquer y\in(-\infty,\infty) existe x tal que y=\log_b(x-2) (basta tomar x=2+b^{y}), então todos os reais aparecem como valores de g.
  • Assíntota vertical: a fronteira do domínio em x=2 é uma assíntota vertical. Comportamento limite:
\lim_{x\to2^{+}}\log_b(x-2)=-\infty.
Isto significa que, ao aproximar x de 2 pela direita, a função tende a -\infty e o gráfico “desce” indefinidamente perto de x=2.
  • Comportamento para x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}\log_b(x-2)=\infty,
ou seja, a função cresce sem limite quando x cresce muito.

Passo 4

Pontos úteis para esboçar o gráfico (escolhas simples e interpretação):
  • Intercepto com o eixo x (zerar a função): resolver \log_b(x-2)=0. Como \log_b(1)=0, temos x-2=1, logo x=3. Portanto o gráfico cruza o eixo x no ponto (3,0).
  • Alguns pontos adicionais (dependem da base, dou exemplos com base natural b=e só para números concretos; se a base for outra, a ideia é análoga):
    • Se b=e, então \log_e(x-2)=1 quando x-2=e, isto é, no ponto \bigl(2+e,\,1\bigr).
    • Se b=e, então \log_e(x-2)=-1 quando x-2=e^{-1}, isto é, no ponto \bigl(2+e^{-1},\,-1\bigr).
  • Monotonicidade: a função \log_b(x) é crescente se b>1 e decrescente se 0<b<1. Como g(x)=\log_b(x-2) é apenas a composição com x-2, g tem o mesmo comportamento monotônico da \log_b: cresce se b>1, decresce se 0<b<1. Em muitas disciplinas a base padrão é b>1, então tipicamente o gráfico é crescente.

Passo 5

Como construir/esboçar o gráfico passo a passo (receita prática para fazer na prova sem calcular muito):
  1. Desenhar a assíntota vertical reta tracejada em x=2.
  2. Marcar o ponto (3,0) (intercepto em x).
  3. Escolher mais um ou dois pontos fáceis (por exemplo, para base e usar x=2+e para marcar o ponto com ordenada 1, ou para base 10 usar x=2+10 etc.). Se a base não for dada, basta saber a curva passa por (3,0), sobe lentamente para a direita e cai para -\infty ao aproximar de x=2^{+}.
  4. Traçar a curva suave que:
    • fica estritamente à direita da assíntota x=2;
    • passa por (3,0);
    • tende a -\infty quando x\to2^{+};
    • cresce sem limite quando x\to\infty (se b>1) ou decresce sem limite (se 0<b<1).
      Esse traçado é o gráfico de g.

Passo 6

Relação entre o gráfico de g(x)=\log(x-2) e gráficos de funções do mesmo tipo (transformações básicas):
  • Compare com a função “pai” f(x)=\log(x). A função g é exatamente a função f deslocada horizontalmente para a direita em 2 unidades. Em notação de transformações: g(x)=f(x-2) corresponde a um deslocamento de f para a direita por 2.
  • Consequências dessa tradução:
    • O domínio de f que era (0,\infty) transforma-se em (2,\infty) para g.
    • A assíntota vertical de f em x=0 passa a ser em x=2 para g.
    • O ponto especial (1,0) de f vira (3,0) em g.
  • Em geral, qualquer função \log(x-h) corresponde a deslocamento horizontal da função \log(x) por h unidades à direita (se h>0) ou à esquerda (se h<0).

Resposta

Domínio: (2,\infty)
Imagem (contradomínio efetivo): (-\infty,\infty)
Gráfico: curva logarítmica com assíntota vertical em x=2, cruzando o eixo x em (3,0), tendendo a -\infty quando x\to2^{+} e a +\infty quando x\to\infty (para b>1).
Relação com funções do mesmo tipo: é o gráfico de \log(x) deslocado horizontalmente 2 unidades para a direita (ou seja, g(x)=\log(x-2)=\log(x) com x substituído por x-2).

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