Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Determinar o domínio de
, sendo . - Construir (descrever) o gráfico de
e identificar como o gráfico se relaciona com gráficos de funções do mesmo tipo.
Informações dadas:
- A função é
. - Não foi especificada a base do logaritmo; portanto, trabalho com a forma geral
com e . As propriedades que vou usar valem para qualquer base admissível.
Passo 2
Entender quando a expressão logarítmica está definida (revisão didática):
- Por definição,
está definida somente quando o argumento é positivo, isto é, quando . Aqui é a base do logaritmo, com e . - Aplicando isso a
: o argumento do log é . Logo a condição de existência é
- Resolvendo essa desigualdade obtemos
Portanto o domínio de
é o conjunto de todos os
tais que
, isto é, o intervalo
.
Explicação extra (por que a desigualdade dá o domínio): quando
podemos escrever
e reescrever como
. Como
toma todos os valores positivos quando
varia em
, o valor de
resultante varia em
. Assim a faixa de
compatível com algum
é exatamente
.
Passo 3
Determinar a imagem (faixa de valores) e assíntotas — conceitos importantes para desenhar o gráfico:
- A imagem (ou conjunto de valores possíveis de
) é todo o conjunto dos números reais: . Razão: para qualquer existe tal que (basta tomar ), então todos os reais aparecem como valores de . - Assíntota vertical: a fronteira do domínio em
é uma assíntota vertical. Comportamento limite:
Isto significa que, ao aproximar
de
pela direita, a função tende a
e o gráfico “desce” indefinidamente perto de
.
- Comportamento para
:
ou seja, a função cresce sem limite quando
cresce muito.
Passo 4
Pontos úteis para esboçar o gráfico (escolhas simples e interpretação):
- Intercepto com o eixo
(zerar a função): resolver . Como , temos , logo . Portanto o gráfico cruza o eixo no ponto . - Alguns pontos adicionais (dependem da base, dou exemplos com base natural
só para números concretos; se a base for outra, a ideia é análoga): - Se
, então quando , isto é, no ponto . - Se
, então quando , isto é, no ponto .
- Se
- Monotonicidade: a função
é crescente se e decrescente se . Como é apenas a composição com , tem o mesmo comportamento monotônico da : cresce se , decresce se . Em muitas disciplinas a base padrão é , então tipicamente o gráfico é crescente.
Passo 5
Como construir/esboçar o gráfico passo a passo (receita prática para fazer na prova sem calcular muito):
- Desenhar a assíntota vertical reta tracejada em
. - Marcar o ponto
(intercepto em ). - Escolher mais um ou dois pontos fáceis (por exemplo, para base
usar para marcar o ponto com ordenada , ou para base usar etc.). Se a base não for dada, basta saber a curva passa por , sobe lentamente para a direita e cai para ao aproximar de . - Traçar a curva suave que:
- fica estritamente à direita da assíntota
; - passa por
; - tende a
quando ; - cresce sem limite quando
(se ) ou decresce sem limite (se ).
Esse traçado é o gráfico de.
- fica estritamente à direita da assíntota
Passo 6
Relação entre o gráfico de
e gráficos de funções do mesmo tipo (transformações básicas):
- Compare com a função “pai”
. A função é exatamente a função deslocada horizontalmente para a direita em unidades. Em notação de transformações: corresponde a um deslocamento de para a direita por . - Consequências dessa tradução:
- O domínio de
que era transforma-se em para . - A assíntota vertical de
em passa a ser em para . - O ponto especial
de vira em .
- O domínio de
- Em geral, qualquer função
corresponde a deslocamento horizontal da função por unidades à direita (se ) ou à esquerda (se ).
Resposta
Domínio:
Imagem (contradomínio efetivo):
Gráfico: curva logarítmica com assíntota vertical em , cruzando o eixo
em
, tendendo a
quando
e a
quando
(para
).
Relação com funções do mesmo tipo: é o gráfico de deslocado horizontalmente
unidades para a direita (ou seja,
com
substituído por
).
Imagem (contradomínio efetivo):
Gráfico: curva logarítmica com assíntota vertical em
Relação com funções do mesmo tipo: é o gráfico de