Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função
dada por . - Construir o gráfico de
e, em seguida, identificar como se relacionam os gráficos das funções do mesmo tipo (isto é, funções exponenciais em geral).
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - A base é
, um número real positivo maior que .
Passo 2
Domínio: explicar o que significa domínio e por que todos os reais pertencem ao domínio. O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido. Para a expressão
com base
e
, a potência está definida para qualquer
(expoentes reais têm sentido para bases positivas). Portanto o domínio é
Passo 3
Contruir o conjunto imagem (alcance) e explicar por que os valores nunca atingem zero ou negativos. A função exponencial com base positiva produz sempre valores positivos: para qualquer
tem-se
. Além disso, existem valores de
que tornam
arbitrariamente grandes ou arbitrariamente próximos de
(mas nunca iguais a
). Assim a imagem (contradomínio efetivo) é
Passo 4
Comportamento assintótico e limites. Explicar o que é assintota horizontal e calcular os limites nas extremidades.
- Quando
, a potência cresce sem limite:
- Quando
, a potência tende a zero:
Daí concluímos que a reta
é uma assíntota horizontal à esquerda do gráfico (o gráfico se aproxima de
quando
, sem tocá-la).
Passo 5
Monotonicidade e derivada (intuição do crescimento). Explicar o que significa ser crescente e usar a derivada para mostrar isso. A derivada de
é dada por
Aqui
e
para todo
, logo
para todo
. Isso quer dizer que
é estritamente crescente em todo o domínio: quando
aumenta,
também aumenta.
Passo 6
Pontos importantes para desenhar o gráfico. Listar pontos fáceis de calcular e o intercepto com eixo
.
- Intercepto com eixo
(quando ):
portanto o gráfico passa por
.
- Alguns valores simples para marcar a forma da curva:
Fazer uma pequena tabela ajuda a posicionar pontos:
.
Passo 7
Passo a passo prático para desenhar o gráfico na prova (sem calculadora):
- Trace os eixos
e e marque o ponto . - Marque os pontos da tabela do Passo 6: use uma escala razoável para que
e apareçam abaixo de e acima. - Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, lembrando que:
- Para
grande e positivo a curva sobe rapidamente para . - Para
grande e negativo a curva se aproxima de horizontalmente.
- Para
- Desenhe a assíntota horizontal
como guia (linha tracejada) e não toque essa linha com a curva.
O resultado é a clássica curva exponencial crescente que cruza o eixoem e fica sempre positiva.
Passo 8
Relações entre gráficos de funções do mesmo tipo (funções exponenciais em geral). Vou listar transformações e comparações úteis que costumam cair em provas, explicando cada uma com linguagem simples e exemplos:
- Variação da base
em : - Se
a função é crescente (como ). - Se
a função é decrescente (por exemplo cai quando cresce). - Entre duas bases
e com , a curva cresce mais rapidamente do que (por exemplo é mais “íngreme” que ).
- Se
- Multiplicação por constante vertical
: - Multiplicar por
estica o gráfico verticalmente (tudo fica maior). - Multiplicar por
comprime verticalmente. - Exemplo:
(nota: aqui há também uma relação de deslocamento horizontal por identidade das potências).
- Multiplicar por
- Deslocamentos horizontais
: - Substituir
por desloca o gráfico unidades para a direita se . - Exemplo:
é o gráfico de deslocado 1 unidade para a direita.
- Substituir
- Reflexão horizontal e bases reciprocais:
-
. Então trocar por corresponde a refletir o gráfico em relação ao eixo , e isso é equivalente a usar a base .
-
- Deslocamentos verticais
: - Somar
desloca o gráfico verticalmente para cima se e para baixo se ; a assíntota horizontal passa de para .
- Somar
- Inversa: função logarítmica
- A função inversa de
é . Gráficos de função e da sua inversa são simétricos em relação à reta . Exemplo: o gráfico de e o gráfico de são reflexões um do outro sobre .
- A função inversa de
Passo 9
Resumo intuitivo e dicas para a prova:
- Domínio: todos os reais; imagem: apenas positivos.
- Marque
e alguns pontos com expoentes inteiros (como em Passo 6) — isso já dá o formato. - Procure a assíntota
. - Se pegarem outra exponencial
comparem a base: maior base → curva mais íngreme; base entre e → curva decrescente. - Lembre-se: a inversa é logaritmo e é reflexão em
.