Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
f(x)=2^{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função f dada por f(x)=2^{x}.
  • Construir o gráfico de f(x)=2^{x} e, em seguida, identificar como se relacionam os gráficos das funções do mesmo tipo (isto é, funções exponenciais em geral).
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=2^{x}.
  • A base é 2, um número real positivo maior que 1.

Passo 2

Domínio: explicar o que significa domínio e por que todos os reais pertencem ao domínio. O domínio de uma função são todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido. Para a expressão 2^{x} com base 2>0 e 2\neq0, a potência está definida para qualquer x\in\mathbb{R} (expoentes reais têm sentido para bases positivas). Portanto o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Contruir o conjunto imagem (alcance) e explicar por que os valores nunca atingem zero ou negativos. A função exponencial com base positiva produz sempre valores positivos: para qualquer x tem-se 2^{x}>0. Além disso, existem valores de x que tornam 2^{x} arbitrariamente grandes ou arbitrariamente próximos de 0 (mas nunca iguais a 0). Assim a imagem (contradomínio efetivo) é
f(\mathbb{R})=(0,\infty).

Passo 4

Comportamento assintótico e limites. Explicar o que é assintota horizontal e calcular os limites nas extremidades.
  • Quando x\to+\infty, a potência cresce sem limite:
\lim_{x\to+\infty}2^{x}=+\infty.
  • Quando x\to-\infty, a potência tende a zero:
\lim_{x\to-\infty}2^{x}=0.
Daí concluímos que a reta y=0 é uma assíntota horizontal à esquerda do gráfico (o gráfico se aproxima de y=0 quando x\to-\infty, sem tocá-la).

Passo 5

Monotonicidade e derivada (intuição do crescimento). Explicar o que significa ser crescente e usar a derivada para mostrar isso. A derivada de f(x)=2^{x} é dada por
f'(x)=\ln(2)\,2^{x}.
Aqui \ln(2)>0 e 2^{x}>0 para todo x, logo f'(x)>0 para todo x. Isso quer dizer que f é estritamente crescente em todo o domínio: quando x aumenta, f(x) também aumenta.

Passo 6

Pontos importantes para desenhar o gráfico. Listar pontos fáceis de calcular e o intercepto com eixo y.
  • Intercepto com eixo y (quando x=0):
f(0)=2^{0}=1,
portanto o gráfico passa por (0,1).
  • Alguns valores simples para marcar a forma da curva:
f(-2)=2^{-2}=\tfrac{1}{4},\qquad f(-1)=2^{-1}=\tfrac{1}{2},
f(1)=2^{1}=2,\qquad f(2)=2^{2}=4.
Fazer uma pequena tabela ajuda a posicionar pontos: (-2,\tfrac{1}{4}),(-1,\tfrac{1}{2}),(0,1),(1,2),(2,4).

Passo 7

Passo a passo prático para desenhar o gráfico na prova (sem calculadora):
  1. Trace os eixos x e y e marque o ponto (0,1).
  2. Marque os pontos da tabela do Passo 6: use uma escala razoável para que \tfrac{1}{4} e \tfrac{1}{2} apareçam abaixo de 1 e 2,4 acima.
  3. Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos, lembrando que:
    • Para x grande e positivo a curva sobe rapidamente para +\infty.
    • Para x grande e negativo a curva se aproxima de y=0 horizontalmente.
  4. Desenhe a assíntota horizontal y=0 como guia (linha tracejada) e não toque essa linha com a curva.
    O resultado é a clássica curva exponencial crescente que cruza o eixo y em 1 e fica sempre positiva.

Passo 8

Relações entre gráficos de funções do mesmo tipo (funções exponenciais em geral). Vou listar transformações e comparações úteis que costumam cair em provas, explicando cada uma com linguagem simples e exemplos:
  • Variação da base a em a^{x}:
    • Se a>1 a função a^{x} é crescente (como 2^{x}).
    • Se 0<a<1 a função a^{x} é decrescente (por exemplo (\tfrac{1}{2})^{x} cai quando x cresce).
    • Entre duas bases a e b com a>b>1, a curva a^{x} cresce mais rapidamente do que b^{x} (por exemplo 3^{x} é mais “íngreme” que 2^{x}).
  • Multiplicação por constante vertical c\cdot a^{x}:
    • Multiplicar por c>1 estica o gráfico verticalmente (tudo fica maior).
    • Multiplicar por 0<c<1 comprime verticalmente.
    • Exemplo: 2\cdot 2^{x}=2^{x+1} (nota: aqui há também uma relação de deslocamento horizontal por identidade das potências).
  • Deslocamentos horizontais a^{x-h}:
    • Substituir x por x-h desloca o gráfico h unidades para a direita se h>0.
    • Exemplo: 2^{x-1} é o gráfico de 2^{x} deslocado 1 unidade para a direita.
  • Reflexão horizontal e bases reciprocais:
    • a^{-x}=(1/a)^{x}. Então trocar x por -x corresponde a refletir o gráfico em relação ao eixo y, e isso é equivalente a usar a base 1/a.
  • Deslocamentos verticais a^{x}+k:
    • Somar k desloca o gráfico verticalmente para cima se k>0 e para baixo se k<0; a assíntota horizontal passa de y=0 para y=k.
  • Inversa: função logarítmica
    • A função inversa de a^{x} é \log_{a}(x). Gráficos de função e da sua inversa são simétricos em relação à reta y=x. Exemplo: o gráfico de y=2^{x} e o gráfico de y=\log_{2}(x) são reflexões um do outro sobre y=x.

Passo 9

Resumo intuitivo e dicas para a prova:
  • Domínio: todos os reais; imagem: apenas positivos.
  • Marque (0,1) e alguns pontos com expoentes inteiros (como em Passo 6) — isso já dá o formato.
  • Procure a assíntota y=0.
  • Se pegarem outra exponencial a^{x} comparem a base: maior base → curva mais íngreme; base entre 0 e 1 → curva decrescente.
  • Lembre-se: a inversa é logaritmo e é reflexão em y=x.

Resposta

\text{Domínio: }\mathbb{R}.í
\text{Imagem: }(0,\infty).
\text{Gráfico: curva exponencial crescente que passa por }(0,1),\\ \text{com assíntota horizontal }y=0,\\ \lim_{x\to+\infty}2^{x}=+\infty,\\ \lim_{x\to-\infty}2^{x}=0.áí
\text{Relação entre gráficos do mesmo tipo: para }a^{x}çãá com a>1 são crescentes (maior a → mais íngreme); para 0<a<1 são decrescentes; multiplicações, somas e trocas de x por x-h correspondem a estiramentos/compressores verticais e deslocamentos; a inversa é \log_{a}(x) (simetria em relação a y=x).

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