Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
h(x)=x^{-2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função h dada por h(x)=x^{-2}:
  • Determinar o domínio de h.
  • Construir (descrever) o gráfico de h e, em seguida, identificar como os gráficos de funções “do mesmo tipo” se relacionam.
Informações que temos do enunciado:
  • A função é explicitamente h(x)=x^{-2}.
  • Não há imagens ou restrições adicionais fornecidas.

Passo 2

Entendendo a expressão x^{-2}.
  • Um expoente negativo significa “recíproco”: x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Portanto h(x)=\dfrac{1}{x^{2}}. Esta igualdade é fundamental para raciocinar sobre domínio, sinais, limites e forma do gráfico.

Passo 3

Determinar o domínio (explicação passo a passo).
  • Regra básica: não se pode dividir por zero. Aqui o denominador é x^{2}.
  • Então devemos excluir os x tais que x^{2}=0, ou seja x=0.
  • Conclusão: o domínio é todos os reais, exceto zero. Em notação:
\text{Dom}(h)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Determinar o sinal e a imagem (range) de h.
  • Para todo x no domínio temos x^{2}>0 (porque x\neq0).
  • Logo h(x)=\dfrac{1}{x^{2}}>0 para todo x no domínio.
  • Portanto a imagem (conjunto de valores assumidos) é todos os reais positivos:
\text{Im}(h)=(0,\infty).
  • Observação didática: isso vem do fato de x^{2} é sempre positivo (exceto em 0), então seu recíproco também é sempre positivo.

Passo 5

Comportamento perto de pontos importantes — limites e assíntotas. (Definições rápidas: vertical assíntota quando função vai para \infty ao se aproximar de um x excluído; horizontal assíntota quando limite para \pm\infty é um número finito.)
  • Limite quando x\to0:
\lim_{x\to0^{+}}h(x)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^{-}}h(x)=+\infty.
Isto mostra que x=0 é uma assíntota vertical.
  • Limite quando x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
Isto mostra que y=0 é uma assíntota horizontal (a função aproxima-se de 0 quando |x| cresce).

Passo 6

Simetria da função. (Como verificar)
  • Verificar h(-x):
h(-x)=(-x)^{-2}=\frac{1}{(-x)^{2}}=\frac{1}{x^{2}}=h(x).
  • Conclusão: h é uma função par (função par = simétrica em relação ao eixo y). Logo o ramo para x>0 espelha-se no lado x<0.

Passo 7

Monotonicidade — uso da derivada (passo didático sobre derivada).
  • Para estudar crescimento/decrescimento, calculamos a derivada (regra: (x^{n})' = n x^{n-1}; para expoente negativo também vale):
h'(x) = \frac{d}{dx}x^{-2} = -2 x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}}.
  • Sinal de h'(x):
    • Para x>0: x^{3}>0 então h'(x) = -\dfrac{2}{x^{3}}<0. Logo h é decrescente em (0,\infty).
    • Para x<0: x^{3}<0 então h'(x) = -\dfrac{2}{x^{3}}>0. Logo h é crescente em (-\infty,0).
  • Observação: não existem pontos com h'(x)=0 no domínio; em x=0 a derivada não existe, mas x=0 também não pertence ao domínio.

Passo 8

Pontos notáveis e tabela de valores para ajudar a esboçar o gráfico (valores fáceis de calcular).
  • h(1)=1.
  • h(-1)=1.
  • h(2)=\dfrac{1}{4}.
  • h(-2)=\dfrac{1}{4}.
  • h\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=4.
  • h\!\big(-\tfrac{1}{2}\big)=4.
    Esses pontos mostram: perto de zero a função cresce muito (p.ex. em x=\tfrac{1}{2} já vale 4), e quando |x| aumenta a função decai para 0.

Passo 9

Como construir o gráfico passo a passo (instrução prática para desenhar na prova).
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque que x=0 é uma linha que a função não atinge (assíntota vertical).
  2. Trace uma linha pontilhada em x=0 (assíntota vertical) e outra linha pontilhada em y=0 (assíntota horizontal).
  3. Plote os pontos notáveis listados no passo anterior: (1,1), (2,\tfrac{1}{4}), (\tfrac{1}{2},4) e seus simétricos em x<0.
  4. No lado x>0, ligue suavemente passando por (\tfrac{1}{2},4) e (1,1) e tendendo para +\infty quando x\to0^{+} e para 0^{+} quando x\to+\infty.
  5. No lado x<0, desenhe o ramo simétrico (espelhado em relação ao eixo y).
    Resultado visual: duas “ramificações” positivas, uma à direita e outra à esquerda do eixo y, com um “vale” que nunca toca y=0 e com topo indo a +\infty ao se aproximar de x=0.

Passo 10

Comparação/identificação de como estão relacionados os gráficos de funções “do mesmo tipo”. (Explicação pedagógica e exemplos.)
  • Aqui o “tipo” pode ser entendido como funções potência x^{n} e suas variantes. Para n=2 temos y=x^{2}; para n=-2 temos y=x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}. A relação entre os gráficos de x^{2} e x^{-2} é: para cada mesmo x (fora 0), o valor de x^{-2} é o recíproco do valor de x^{2}. Ou seja, se (a,b) está no gráfico de y=x^{2} (com b=x^{2}), então (a,1/b) está no gráfico de y=x^{-2}.
  • Consequências práticas dessa relação:
    • Onde x^{2} é pequeno (próximo de 0), x^{-2} é grande (vai para +\infty). É por isso que x=0 é ponto de mínimo para x^{2} mas é assíntota vertical para x^{-2}.
    • Onde x^{2} é grande (para |x| grandes), x^{-2} é pequeno (aproxima-se de 0). Assim x^{2} cresce sem limite enquanto x^{-2} tende a 0.
  • Em termos gerais: para potências x^{n} e x^{-n} (com n>0) existe essa relação de reciprocidade em y. Para n par ambos são funções pares (simétricas em y); para n ímpar x^{-n} será ímpar como x^{n} (simetria no origem), e a lógica de reciprocidade também vale: y=x^{-n}=1/x^{n}.
  • Observação final: transformar y em 1/y não é um deslocamento rígido nem uma reflexão simples no plano; é uma inversão vertical dos valores de y. Mas a relação ponto-a-ponto (x,b)\mapsto(x,1/b) é a forma mais direta de entender como um gráfico muda para o outro.

Passo 11

Resumo final dos aspectos importantes (para decorar e usar na prova):
  • Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Imagem: (0,\infty).
  • Assíntotas: vertical em x=0 e horizontal em y=0.
  • Simetria: função par (simétrica em relação ao eixo y).
  • Monotonicidade: crescente em (-\infty,0) e decrescente em (0,\infty).
  • Relação com funções do mesmo tipo: h(x)=x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}} é o recíproco ponto a ponto da função x^{2}; em geral x^{-n} tem valores que são recíprocos dos de x^{n}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}
Imagem: (0,\infty)
Assíntotas: vertical x=0, horizontal y=0
Simetria: h é par ( h(-x)=h(x))
Monotonicidade: crescente em (-\infty,0), decrescente em (0,\infty)
Relação com funções do mesmo tipo: h(x)=x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}; o gráfico de x^{-2} é obtido tomando, para cada x\neq0, o recíproco dos valores de x^{2} (isto é, (x,b)\mapsto(x,1/b) onde b=x^{2}).

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