Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
dada por
:
- Determinar o domínio de
. - Construir (descrever) o gráfico de
e, em seguida, identificar como os gráficos de funções “do mesmo tipo” se relacionam.
Informações que temos do enunciado:
- A função é explicitamente
. - Não há imagens ou restrições adicionais fornecidas.
Passo 2
Entendendo a expressão
.
- Um expoente negativo significa “recíproco”:
. - Portanto
. Esta igualdade é fundamental para raciocinar sobre domínio, sinais, limites e forma do gráfico.
Passo 3
Determinar o domínio (explicação passo a passo).
- Regra básica: não se pode dividir por zero. Aqui o denominador é
. - Então devemos excluir os
tais que , ou seja . - Conclusão: o domínio é todos os reais, exceto zero. Em notação:
Passo 4
Determinar o sinal e a imagem (range) de
.
- Para todo
no domínio temos (porque ). - Logo
para todo no domínio. - Portanto a imagem (conjunto de valores assumidos) é todos os reais positivos:
- Observação didática: isso vem do fato de
é sempre positivo (exceto em 0), então seu recíproco também é sempre positivo.
Passo 5
Comportamento perto de pontos importantes — limites e assíntotas. (Definições rápidas: vertical assíntota quando função vai para
ao se aproximar de um
excluído; horizontal assíntota quando limite para
é um número finito.)
- Limite quando
:
Isto mostra que
é uma assíntota vertical.
- Limite quando
:
Isto mostra que
é uma assíntota horizontal (a função aproxima-se de
quando
cresce).
Passo 6
Simetria da função. (Como verificar)
- Verificar
:
- Conclusão:
é uma função par (função par = simétrica em relação ao eixo ). Logo o ramo para espelha-se no lado .
Passo 7
Monotonicidade — uso da derivada (passo didático sobre derivada).
- Para estudar crescimento/decrescimento, calculamos a derivada (regra:
; para expoente negativo também vale):
- Sinal de
: - Para
: então . Logo é decrescente em . - Para
: então . Logo é crescente em .
- Para
- Observação: não existem pontos com
no domínio; em a derivada não existe, mas também não pertence ao domínio.
Passo 8
Pontos notáveis e tabela de valores para ajudar a esboçar o gráfico (valores fáceis de calcular).
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Esses pontos mostram: perto de zero a função cresce muito (p.ex. emjá vale ), e quando aumenta a função decai para .
Passo 9
Como construir o gráfico passo a passo (instrução prática para desenhar na prova).
- Desenhe os eixos
e . Marque que é uma linha que a função não atinge (assíntota vertical). - Trace uma linha pontilhada em
(assíntota vertical) e outra linha pontilhada em (assíntota horizontal). - Plote os pontos notáveis listados no passo anterior:
, , e seus simétricos em . - No lado
, ligue suavemente passando por e e tendendo para quando e para quando . - No lado
, desenhe o ramo simétrico (espelhado em relação ao eixo ).
Resultado visual: duas “ramificações” positivas, uma à direita e outra à esquerda do eixo, com um “vale” que nunca toca e com topo indo a ao se aproximar de .
Passo 10
Comparação/identificação de como estão relacionados os gráficos de funções “do mesmo tipo”. (Explicação pedagógica e exemplos.)
- Aqui o “tipo” pode ser entendido como funções potência
e suas variantes. Para temos ; para temos . A relação entre os gráficos de e é: para cada mesmo (fora ), o valor de é o recíproco do valor de . Ou seja, se está no gráfico de (com ), então está no gráfico de . - Consequências práticas dessa relação:
- Onde
é pequeno (próximo de ), é grande (vai para ). É por isso que é ponto de mínimo para mas é assíntota vertical para . - Onde
é grande (para grandes), é pequeno (aproxima-se de ). Assim cresce sem limite enquanto tende a .
- Onde
- Em termos gerais: para potências
e (com ) existe essa relação de reciprocidade em . Para par ambos são funções pares (simétricas em ); para ímpar será ímpar como (simetria no origem), e a lógica de reciprocidade também vale: . - Observação final: transformar
em não é um deslocamento rígido nem uma reflexão simples no plano; é uma inversão vertical dos valores de . Mas a relação ponto-a-ponto é a forma mais direta de entender como um gráfico muda para o outro.
Passo 11
Resumo final dos aspectos importantes (para decorar e usar na prova):
- Domínio:
. - Imagem:
. - Assíntotas: vertical em
e horizontal em . - Simetria: função par (simétrica em relação ao eixo
). - Monotonicidade: crescente em
e decrescente em . - Relação com funções do mesmo tipo:
é o recíproco ponto a ponto da função ; em geral tem valores que são recíprocos dos de .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntotas: vertical , horizontal
Simetria: é par (
)
Monotonicidade: crescente em , decrescente em
Relação com funções do mesmo tipo: ; o gráfico de
é obtido tomando, para cada
, o recíproco dos valores de
(isto é,
onde
).
Imagem:
Assíntotas: vertical
Simetria:
Monotonicidade: crescente em
Relação com funções do mesmo tipo: