Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
p(x)=x^{-\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função p(x)=x^{-\frac{1}{2}} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Construir (descrever) o gráfico da função e identificar como os gráficos de funções “do mesmo tipo” se relacionam.
Informações importantes que temos no enunciado:
  • A função está escrita como p(x)=x^{-\frac{1}{2}}.

Passo 2

Interpretar a expressão e ver restrições imediatas. Reescrevo a função de uma forma mais explícita:
p(x)=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Agora pense no que cada pedaço exige:
  • A operação \sqrt{x} (a raiz quadrada) está definida, no conjunto dos números reais, apenas para x\ge 0.
  • Além disso, \frac{1}{\sqrt{x}} tem denomindor \sqrt{x}, então \sqrt{x} não pode ser zero porque 1/0 é indefinido.

Passo 3

Determinar o domínio com base nas restrições acima. Como \sqrt{x} exige x\ge 0, mas o denominador impede x=0, concluímos:
\text{Domínio} = \{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}=(0,\infty).í
Explicação curta e clara: só podemos usar x>0 para ter \sqrt{x} definido diferente de zero.

Passo 4

Comportamentos nas extremidades do domínio (limites) — isto ajuda a desenhar o gráfico:
  • Comportamento quando x\to 0^+. Como \sqrt{x}\to 0^+, temos
\lim_{x\to 0^+} p(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty.
Isto mostra que há uma assíntota vertical em x=0 (o gráfico “vai para cima” quando se aproxima de 0 pela direita).
  • Comportamento quando x\to +\infty. Como \sqrt{x}\to +\infty,
\lim_{x\to +\infty} p(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}=0^+.
Isto mostra que há uma assíntota horizontal em y=0 (o gráfico se aproxima de 0 por cima quando x cresce).

Passo 5

Monotonicidade — mostrar se a função sobe ou desce. Vou usar a regra do poder para derivar (a regra do poder diz que se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}, válida para qualquer real n quando x está no domínio).
Aplicando com n=-\tfrac{1}{2}:
p'(x)=\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)'=-\tfrac{1}{2}\,x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2x^{\tfrac{3}{2}}}.
Para todo x>0 o denominador 2x^{3/2} é positivo, portanto p'(x)<0 para todo x no domínio. Conclusão:
  • A função é estritamente decrescente em (0,\infty).

Passo 6

Concavidade — segundo derivada (útil para forma do gráfico). Diferencio novamente:
p''(x)=\left(-\tfrac{1}{2}x^{-\tfrac{3}{2}}\right)'=-\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)x^{-\tfrac{5}{2}}=\frac{3}{4}x^{-\tfrac{5}{2}}=\frac{3}{4x^{\tfrac{5}{2}}}.
Para todo x>0 temos p''(x)>0. Portanto:
  • A função é côncava para cima (convexa) em todo o domínio.

Passo 7

Pontos notáveis para desenhar (valores fáceis para marcar no gráfico). Calculo alguns valores para facilitar o rascunho:
p(1)=1^{-\tfrac{1}{2}}=1, \qquad p(4)=4^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2}, \qquad p(9)=9^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{3},
p\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{1/4}}=\frac{1}{1/2}=2.
Esses pontos mostram a escala: próximo de 0 o valor explode, em x=1 é 1, e à medida que x cresce os valores caem e se aproximam de 0.

Passo 8

Como construir/esboçar o gráfico passo a passo (o que fazer na prova, sem calculadora):
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque a assíntota vertical x=0 (não desenhar o gráfico à esquerda; domínio é só x>0).
  3. Marque a assíntota horizontal y=0 (o gráfico ficará sempre acima do eixo x e tende a 0 quando x\to\infty).
  4. Plote os pontos calculados: \bigl(1,1\bigr), \bigl(4,\tfrac{1}{2}\bigr), \bigl(9,\tfrac{1}{3}\bigr), \bigl(\tfrac{1}{4},2\bigr).
  5. Ligue os pontos com uma curva lisa que:
    • Vai para +\infty quando x\to 0^+,
    • Passa por (1,1),
    • Decresce continuamente e convexa para cima,
    • Aproxima-se de y=0 quando x\to +\infty.
      O resultado é uma curva positiva, decrescente, com “boca” vertical em x=0 e cauda que se aproxima do eixo x.

Passo 9

Relação com gráficos de funções do mesmo tipo (funções potenciais e expoentes negativos). Observações claras e úteis para a prova:
  • A função p(x)=x^{-\tfrac{1}{2}} é a recíproca de q(x)=x^{\tfrac{1}{2}}: para todo x>0,
p(x)=\frac{1}{q(x)}\quad\text{onde}\quad q(x)=x^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{x}.
Isto significa que, para cada abscissa x>0, a ordenada em p é o recíproco da ordenada em q: se q(x)=y então p(x)=1/y.
  • Em termos geométricos: os dois gráficos têm as mesmas abscissas, mas as alturas são reciprocais; assim quando q cresce (para x>1), p decresce; quando q é pequena (para x perto de 0), p é grande. Em particular, se dois expoentes são opostos, isto é, se f(x)=x^{a} e g(x)=x^{-a}, então
g(x)=\frac{1}{f(x)}
para x>0 — os gráficos estão ligados pela transformação vertical y\mapsto 1/y.
  • Observação prática: funções com expoente negativo têm comportamento de “recíproco” das positivas: assíntota horizontal em y=0, possível assíntota vertical onde a base se anula (aqui em x=0), são geralmente decrescentes quando a versão positiva correspondente é crescente (dependendo do expoente).

Passo 10

Resumo final rápido (para revisar antes da prova): domínio (0,\infty); assíntota vertical x=0; assíntota horizontal y=0; decrescente e convexa para cima; pontos úteis (1,1),(4,\tfrac{1}{2}),(\tfrac{1}{4},2); é a recíproca de y=\sqrt{x}.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Gráfico: curva positiva em (0,\infty), decrescente e convexa para cima, com \lim_{x\to0^+}p(x)=+\infty (assíntota vertical x=0) e \lim_{x\to\infty}p(x)=0 (assíntota horizontal y=0); pontos úteis: (1,1),(4,\tfrac{1}{2}),(\tfrac{1}{4},2).
Relação com funções do mesmo tipo: p(x)=x^{-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}}, ou seja, o gráfico é obtido fazendo y\mapsto 1/y nas alturas do gráfico de y=x^{\tfrac{1}{2}}; de modo geral, x^{-a} é a recíproca de x^{a} para x>0.

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