Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Construir (descrever) o gráfico da função e identificar como os gráficos de funções “do mesmo tipo” se relacionam.
Informações importantes que temos no enunciado:
- A função está escrita como
.
Passo 2
Interpretar a expressão e ver restrições imediatas. Reescrevo a função de uma forma mais explícita:
Agora pense no que cada pedaço exige:
- A operação
(a raiz quadrada) está definida, no conjunto dos números reais, apenas para . - Além disso,
tem denomindor , então não pode ser zero porque é indefinido.
Passo 3
Determinar o domínio com base nas restrições acima. Como
exige
, mas o denominador impede
, concluímos:
Explicação curta e clara: só podemos usar
para ter
definido diferente de zero.
Passo 4
Comportamentos nas extremidades do domínio (limites) — isto ajuda a desenhar o gráfico:
- Comportamento quando
. Como , temos
Isto mostra que há uma assíntota vertical em
(o gráfico “vai para cima” quando se aproxima de
pela direita).
- Comportamento quando
. Como ,
Isto mostra que há uma assíntota horizontal em
(o gráfico se aproxima de
por cima quando
cresce).
Passo 5
Monotonicidade — mostrar se a função sobe ou desce. Vou usar a regra do poder para derivar (a regra do poder diz que se
então
, válida para qualquer real
quando
está no domínio).
Aplicando com :
Aplicando com
Para todo
o denominador
é positivo, portanto
para todo
no domínio. Conclusão:
- A função é estritamente decrescente em
.
Passo 6
Concavidade — segundo derivada (útil para forma do gráfico). Diferencio novamente:
Para todo
temos
. Portanto:
- A função é côncava para cima (convexa) em todo o domínio.
Passo 7
Pontos notáveis para desenhar (valores fáceis para marcar no gráfico). Calculo alguns valores para facilitar o rascunho:
Esses pontos mostram a escala: próximo de
o valor explode, em
é
, e à medida que
cresce os valores caem e se aproximam de
.
Passo 8
Como construir/esboçar o gráfico passo a passo (o que fazer na prova, sem calculadora):
- Trace os eixos
e . - Marque a assíntota vertical
(não desenhar o gráfico à esquerda; domínio é só ). - Marque a assíntota horizontal
(o gráfico ficará sempre acima do eixo e tende a quando ). - Plote os pontos calculados:
, , , . - Ligue os pontos com uma curva lisa que:
- Vai para
quando , - Passa por
, - Decresce continuamente e convexa para cima,
- Aproxima-se de
quando .
O resultado é uma curva positiva, decrescente, com “boca” vertical eme cauda que se aproxima do eixo .
- Vai para
Passo 9
Relação com gráficos de funções do mesmo tipo (funções potenciais e expoentes negativos). Observações claras e úteis para a prova:
- A função
é a recíproca de : para todo ,
Isto significa que, para cada abscissa
, a ordenada em
é o recíproco da ordenada em
: se
então
.
- Em termos geométricos: os dois gráficos têm as mesmas abscissas, mas as alturas são reciprocais; assim quando
cresce (para ), decresce; quando é pequena (para perto de ), é grande. Em particular, se dois expoentes são opostos, isto é, se e , então
para
— os gráficos estão ligados pela transformação vertical
.
- Observação prática: funções com expoente negativo têm comportamento de “recíproco” das positivas: assíntota horizontal em
, possível assíntota vertical onde a base se anula (aqui em ), são geralmente decrescentes quando a versão positiva correspondente é crescente (dependendo do expoente).
Passo 10
Resumo final rápido (para revisar antes da prova): domínio
; assíntota vertical
; assíntota horizontal
; decrescente e convexa para cima; pontos úteis
; é a recíproca de
.
Resposta
Domínio:
Gráfico: curva positiva em , decrescente e convexa para cima, com
(assíntota vertical
) e
(assíntota horizontal
); pontos úteis:
.
Relação com funções do mesmo tipo: , ou seja, o gráfico é obtido fazendo
nas alturas do gráfico de
; de modo geral,
é a recíproca de
para
.
Gráfico: curva positiva em
Relação com funções do mesmo tipo: