Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
f(x)=\sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o domínio e (2) construir (descrever) o gráfico da função f(x)=\sin(2x). Além disso pede que eu identifique como os gráficos das funções “do mesmo tipo” estão relacionados — ou seja, como o gráfico de \sin(2x) se relaciona com o gráfico de \sin x (ou, em geral, de \sin(bx)).
Informação dada: a função é f(x)=\sin(2x). Não há mais dados nem imagens.

Passo 2

Domínio e imagem (intervalo de valores possíveis).
  • A função \sin(t) está definida para todo t\in\mathbb{R}. Como aqui temos t=2x e 2x é definido para todo x\in\mathbb{R}, segue que o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • O seno sempre retorna valores entre -1 e 1. Portanto o conjunto de valores (imagem) é
\text{Im}(f)=[-1,1].
Explicação curta e intuitiva: multiplicar o argumento por 2 não cria “buracos” onde a função deixaria de existir; apenas altera a maneira como o seno oscila.

Passo 3

Amplitude e período — conceitos e fórmulas (mini-aulinha).
  • Amplitude: para A\sin(\cdot) a amplitude é |A|. No caso f(x)=\sin(2x) temos A=1, logo amplitude 1. Isso significa que os picos chegam a +1 e os vales a -1.
  • Período: a função \sin(t) tem período 2\pi, isto é, \sin(t+2\pi)=\sin t para todo t. Se colocamos t=bx, queremos T tal que
\sin\big(b(x+T)\big)=\sin(bx)\quad\forall x.
Isto ocorre quando bT=2\pi, ou seja
T=\frac{2\pi}{|b|}.
No nosso caso b=2, portanto o período é
T=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Interpretação intuitiva: enquanto \sin x completa uma oscilação em 2\pi, \sin(2x) completa a mesma oscilação em metade desse intervalo, ou seja, em \pi. Logo a frequência (número de ciclos por unidade de x) dobrou.

Passo 4

Pontos notáveis e suas fórmulas (onde colocar pontos para esboçar o gráfico).
Para encontrar os pontos importantes (zeros, máximos, mínimos) resolvemos equações com \sin(2x):
  • Zeros: \sin(2x)=0 quando 2x=n\pi, n\in\mathbb{Z}. Portanto
x=\frac{n\pi}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Máximos (valor +1): \sin(2x)=1 quando 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n. Logo
x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Mínimos (valor -1): \sin(2x)=-1 quando 2x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n. Logo
x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Tabela de pontos para um período (escolha prática para desenhar). Vou pegar o intervalo [0,\pi] que é um período completo de \sin(2x).
  • x=0 : \sin(2\cdot0)=\sin 0=0.
  • x=\dfrac{\pi}{4} : \sin\!\big(2\cdot\dfrac{\pi}{4}\big)=\sin\!\big(\dfrac{\pi}{2}\big)=1.
  • x=\dfrac{\pi}{2} : \sin\!\big(2\cdot\dfrac{\pi}{2}\big)=\sin(\pi)=0.
  • x=\dfrac{3\pi}{4} : \sin\!\big(2\cdot\dfrac{3\pi}{4}\big)=\sin\!\big(\tfrac{3\pi}{2}\big)=-1.
  • x=\pi : \sin(2\pi)=0.
Esses cinco pontos marcam uma oscilação completa (zero → máximo → zero → mínimo → zero). Para desenhar várias ondas, repita esse padrão para x positivos e negativos usando as fórmulas do passo anterior.

Passo 6

Como transformar o gráfico de y=\sin x em y=\sin(2x) — visão prática para a prova.
  • Regras de deformação: a função g(x)=f(bx) resulta de aplicar a função f sobre um eixo x “compressado” horizontalmente por fator b (ou, dito de outro modo, cada x de g corresponde ao bx de f). Mais simples: para cada ponto (a,f(a)) do gráfico de y=f(x), o gráfico de y=f(bx) tem o ponto (a/b,f(a)).
  • Aplicando aqui: para b=2, o gráfico de y=\sin(2x) é o gráfico de y=\sin x comprimido no sentido horizontal por fator 2 (metade da largura). Exemplo concreto: \sin x atinge +1 em x=\dfrac{\pi}{2}, enquanto \sin(2x) atinge +1 em x=\dfrac{\pi}{4} (metade do valor). Assim as cristas e vales ficam mais próximas.

Passo 7

Simetrias e propriedades úteis para desenhar rápido.
  • Função ímpar: \sin(2(-x))=\sin(-2x)=-\sin(2x). Logo f é ímpar; o gráfico é simétrico por rotação de 180^\circ em torno da origem (ou: espelhado em relação à origem).
  • Amplitude 1, período \pi, zeros em x=\dfrac{n\pi}{2}. Isso já permite um esboço preciso sem calculadora: marcar zeros e máximos/mínimos e ligar suavemente.

Passo 8

Instrução prática de desenho passo a passo (o que fazer na prova):
  1. Marque o eixo x e y.
  2. Marque os zeros em x=\dfrac{n\pi}{2} (por exemplo -\pi,-\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},\ldots).
  3. Entre dois zeros consecutivos, coloque o máximo ou mínimo: entre 0 e \tfrac{\pi}{2} tem máximo em x=\tfrac{\pi}{4} valendo +1; entre \tfrac{\pi}{2} e \pi tem mínimo em x=\tfrac{3\pi}{4} valendo -1.
  4. Repita para a direita e para a esquerda (períodos de tamanho \pi).
  5. Una os pontos com uma curva suave tipo “onda”. Lembre-se da simetria ímpar: o trecho negativo é o negativo do positivo.

Passo 9

Comparação direta com y=\sin x (resumo das relações):
  • Amplitude: mesma ( 1).
  • Período: \sin x tem período 2\pi; \sin(2x) tem período \pi (metade).
  • Transformação geométrica: y=\sin(2x) é o gráfico de y=\sin x comprimido horizontalmente por fator 2 (ou, equivalentemente, cada ponto (a,\sin a) de \sin x corresponde ao ponto (a/2,\sin a) em \sin(2x)).
  • Frequência: \sin(2x) completa duas oscilações no mesmo intervalo em que \sin x completa uma (dobrou a frequência).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem (intervalo de valores): [-1,1]
Amplitude: 1
Período: \pi
Zeros: x=\dfrac{n\pi}{2},\\ n\in\mathbb{Z}
Máximos: x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n com valor +1
Mínimos: x=\dfrac{3\pi}{4}+\pi n com valor -1
Relação com y=\sin x: o gráfico de y=\sin(2x) é o gráfico de y=\sin x comprimido horizontalmente por fator 2 (período pela metade), mantendo amplitude e simetria ímpar.

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