Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o domínio e (2) construir (descrever) o gráfico da função
. Além disso pede que eu identifique como os gráficos das funções “do mesmo tipo” estão relacionados — ou seja, como o gráfico de
se relaciona com o gráfico de
(ou, em geral, de
).
Informação dada: a função é . Não há mais dados nem imagens.
Informação dada: a função é
Passo 2
Domínio e imagem (intervalo de valores possíveis).
- A função
está definida para todo . Como aqui temos e é definido para todo , segue que o domínio é
- O seno sempre retorna valores entre
e . Portanto o conjunto de valores (imagem) é
Explicação curta e intuitiva: multiplicar o argumento por
não cria “buracos” onde a função deixaria de existir; apenas altera a maneira como o seno oscila.
Passo 3
Amplitude e período — conceitos e fórmulas (mini-aulinha).
- Amplitude: para
a amplitude é . No caso temos , logo amplitude . Isso significa que os picos chegam a e os vales a . - Período: a função
tem período , isto é, para todo . Se colocamos , queremos tal que
Isto ocorre quando
, ou seja
No nosso caso
, portanto o período é
Interpretação intuitiva: enquanto
completa uma oscilação em
,
completa a mesma oscilação em metade desse intervalo, ou seja, em
. Logo a frequência (número de ciclos por unidade de
) dobrou.
Passo 4
Pontos notáveis e suas fórmulas (onde colocar pontos para esboçar o gráfico).
Para encontrar os pontos importantes (zeros, máximos, mínimos) resolvemos equações com :
Para encontrar os pontos importantes (zeros, máximos, mínimos) resolvemos equações com
- Zeros:
quando , . Portanto
- Máximos (valor
): quando . Logo
- Mínimos (valor
): quando . Logo
Passo 5
Tabela de pontos para um período (escolha prática para desenhar). Vou pegar o intervalo
que é um período completo de
.
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Esses cinco pontos marcam uma oscilação completa (zero → máximo → zero → mínimo → zero). Para desenhar várias ondas, repita esse padrão para
positivos e negativos usando as fórmulas do passo anterior.
Passo 6
Como transformar o gráfico de
em
— visão prática para a prova.
- Regras de deformação: a função
resulta de aplicar a função sobre um eixo “compressado” horizontalmente por fator (ou, dito de outro modo, cada de corresponde ao de ). Mais simples: para cada ponto do gráfico de , o gráfico de tem o ponto . - Aplicando aqui: para
, o gráfico de é o gráfico de comprimido no sentido horizontal por fator (metade da largura). Exemplo concreto: atinge em , enquanto atinge em (metade do valor). Assim as cristas e vales ficam mais próximas.
Passo 7
Simetrias e propriedades úteis para desenhar rápido.
- Função ímpar:
. Logo é ímpar; o gráfico é simétrico por rotação de em torno da origem (ou: espelhado em relação à origem). - Amplitude
, período , zeros em . Isso já permite um esboço preciso sem calculadora: marcar zeros e máximos/mínimos e ligar suavemente.
Passo 8
Instrução prática de desenho passo a passo (o que fazer na prova):
- Marque o eixo
e . - Marque os zeros em
(por exemplo ). - Entre dois zeros consecutivos, coloque o máximo ou mínimo: entre
e tem máximo em valendo ; entre e tem mínimo em valendo . - Repita para a direita e para a esquerda (períodos de tamanho
). - Una os pontos com uma curva suave tipo “onda”. Lembre-se da simetria ímpar: o trecho negativo é o negativo do positivo.
Passo 9
Comparação direta com
(resumo das relações):
- Amplitude: mesma (
). - Período:
tem período ; tem período (metade). - Transformação geométrica:
é o gráfico de comprimido horizontalmente por fator (ou, equivalentemente, cada ponto de corresponde ao ponto em ). - Frequência:
completa duas oscilações no mesmo intervalo em que completa uma (dobrou a frequência).
Resposta
Domínio:
Imagem (intervalo de valores):
Amplitude:
Período:
Zeros:
Máximos: com valor
Mínimos: com valor
Relação com : o gráfico de
é o gráfico de
comprimido horizontalmente por fator
(período pela metade), mantendo amplitude e simetria ímpar.
Imagem (intervalo de valores):
Amplitude:
Período:
Zeros:
Máximos:
Mínimos:
Relação com