Seja f(x)=\frac{1}{x^{2}+4}. Determine os valores indicados sendo a um número real.
f(1 / a)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede que calculemos f(1/a). Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}.
  • a é um número real.
  • Observação importante (dados do enunciado): para avaliar f(1/a) é preciso que 1/a exista, ou seja, a\neq 0.
  • Além disso, x^{2}+4>0 para todo x\in\mathbb{R}, então f(x) está bem definida para qualquer x real (desde que x seja um número real possível de inserir, aqui x=1/a exige a\neq0).

Passo 2

Começamos substituindo x por 1/a na expressão de f. Escrevendo diretamente a substituição:
f\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{a}\right)^{2}+4}.

Passo 3

Agora simplificamos a potência de fracção. Lembrando que \left(\dfrac{1}{a}\right)^{2}=\dfrac{1^{2}}{a^{2}}=\dfrac{1}{a^{2}}. Assim:
f\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^{2}}+4}.

Passo 4

Para somar \dfrac{1}{a^{2}}+4 é conveniente escrever 4 com denominador a^{2}. Fazendo isso:
\dfrac{1}{a^{2}}+4=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{4a^{2}}{a^{2}}=\dfrac{1+4a^{2}}{a^{2}}.

Passo 5

Substituindo essa fração no denominador de f(1/a) e lembrando que dividir por uma fração é multiplicar pelo seu inverso, obtemos:
f\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{\dfrac{1+4a^{2}}{a^{2}}=\\ } \Longrightarrow\\ f\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{a^{2}}{1+4a^{2}}.
(Alternativamente, multiplicou-se numerador e denominador por a^{2} para eliminar a fração no denominador.)

Passo 6

Verificações e domínio: como mencionado no Passo 1, é necessário a\neq 0 para que 1/a exista. Além disso, 1+4a^{2}>0 para todo a, então não há outra restrição. Portanto a expressão final válida é \dfrac{a^{2}}{1+4a^{2}} com a\neq 0.

Passo 7

Checagem numérica rápida (só para ganhar confiança): se a=1, então f(1/a)=f(1)=\dfrac{1}{1+4}=\dfrac{1}{5}. A fórmula dá \dfrac{1^{2}}{1+4\cdot1^{2}}=\dfrac{1}{5}. Está consistente.

Resposta

\dfrac{a^{2}}{1+4a^{2}},\\ a\neq 0

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