Seja f(x)=\frac{1}{x^{2}+4}. Determine os valores indicados sendo a um número real.
1 / f(a)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4} e pede para determinar \dfrac{1}{f(a)}, sendo a um número real. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+4}.
  • O valor a ser usado é a\in\mathbb{R}.
  • Observação útil (extraída da expressão): x^{2}+4\ge 4>0 para todo x\in\mathbb{R}, então f(x) está bem definida para qualquer real.

Passo 2

Primeiro, escrevo explicitamente f(a) substituindo x por a na definição:
f(a)=\dfrac{1}{a^{2}+4}.
Explicação rápida: substituir uma variável por um valor (ou por outra variável) é apenas trocar o símbolo x por a em toda a expressão.

Passo 3

Agora lembro da definição de recíproco (inverso multiplicativo): se y é um número não nulo então o recíproco de y é \dfrac{1}{y}, e o recíproco do número \dfrac{1}{y} é justamente y. Aplicando isso a f(a):
\dfrac{1}{f(a)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^{2}+4}}.

Passo 4

Faço a simplificação do quociente de frações. Regra: \dfrac{1}{\dfrac{p}{q}}=\dfrac{1\cdot q}{p}= \dfrac{q}{p}. Aqui p=1 e q=a^{2}+4, logo
\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^{2}+4}}=a^{2}+4.
Também é importante verificar que f(a)\neq 0 para o recíproco existir; como já notei, a^{2}+4\ge 4>0, então f(a)>0 e a operação é válida.

Passo 5

Resumo da operação: partir de f(a)=\dfrac{1}{a^{2}+4}, tomar o recíproco troca numerador e denominador, resultando em a^{2}+4. Um exemplo numérico rápido para fixar: se a=0 então f(0)=\dfrac{1}{4} e \dfrac{1}{f(0)}=4, concordando com a fórmula a^{2}+4.

Resposta

a^{2}+4

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