Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
h(x)=\sqrt{x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\sqrt{x+1} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio de h.
  • Construir o gráfico de h.
    Além disso, pede para identificar como os gráficos das funções “do mesmo tipo” estão relacionados (isto é, como h se relaciona com o gráfico de \sqrt{x} e com a família de funções do tipo \sqrt{\cdot}).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é h(x)=\sqrt{x+1}.
  • A raiz quadrada aqui é a raiz principal real (ou seja, \sqrt{\cdot} retorna valores \ge 0).
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Encontrar o domínio: regra básica sobre raízes quadradas reais.
  • Para que \sqrt{\,\cdot\,} esteja definida realmente, o argumento deve ser maior ou igual a zero.
  • Aplicando isso ao argumento x+1, exigimos
x+1 \ge 0.
  • Resolvendo:
x \ge -1.
Concluímos que o domínio de h é o conjunto de todos os x tais que x\ge-1. Em notação intervalo:
\text{Dom}(h) = [-1,\infty).
Explicação intuitiva: pontos com x<-1 fazem x+1 negativo e a raiz quadrada real não existe aí; o ponto x=-1 é permitido porque \sqrt{0}=0.

Passo 3

Determinar a imagem (faixa de valores) — ajuda a desenhar o gráfico.
  • Como a raiz principal é sempre não negativa, para qualquer x do domínio temos h(x)\ge 0.
  • O menor valor ocorre em x=-1:
h(-1)=\sqrt{-1+1}=\sqrt{0}=0.
  • À medida que x\to\infty, x+1\to\infty e \sqrt{x+1}\to\infty.
    Portanto a imagem (contradomínio atingido) é
\text{Im}(h)=[0,\infty).

Passo 4

Pontos-chave para traçar o gráfico (escolher alguns x fáceis e calcular h(x)).
  • Para x=-1: h(-1)=\sqrt{0}=0, ponto (-1,0).
  • Para x=0: h(0)=\sqrt{1}=1, ponto (0,1).
  • Para x=3: h(3)=\sqrt{4}=2, ponto (3,2).
  • Para x=8: h(8)=\sqrt{9}=3, ponto (8,3).
Esses pontos mostram que, ao aumentar x, h(x) aumenta, mas de forma que para grandes aumentos de x o crescimento de h(x) é mais lento (crescimento sublinear).

Passo 5

Forma e propriedades do gráfico (intuição e cálculo das derivadas para justificar formato).
  • A função \sqrt{t} (para t\ge 0) é crescente e tem concavidade voltada para baixo. O mesmo vale para h em seu domínio porque t=x+1 apenas desloca o eixo.
  • Derivada (quando x>-1):
h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
Isto mostra que h'(x)>0 para x>-1 (função estritamente crescente) e que h'(x) diminui quando x aumenta (a inclinação fica menor).
  • Segunda derivada:
h''(x)=-\frac{1}{4(x+1)^{3/2}}<0\quad\text{para }x>-1,
o que confirma que o gráfico é côncavo para baixo no seu domínio.
Conclusão sobre a forma: começa em (-1,0) com inclinação infinita à direita do ponto inicial (tendendo à verticalmente muito íngreme conforme se aproxima de -1^+), depois sobe cada vez mais lentamente e é côncavo para baixo.

Passo 6

Como desenhar o gráfico passo a passo (sem usar calculadora; com os pontos acima já dá boa ideia):
  1. Faça um sistema de eixos x e y.
  2. Marque o ponto (-1,0) e desenhe um ponto cheio (fechado) porque está incluído no domínio e h(-1)=0.
  3. Marque os pontos (0,1), (3,2), (8,3).
  4. Una esses pontos por uma curva suave que passa exatamente por eles, começando em (-1,0) e continuando para a direita sem terminar, subindo lentamente.
  5. Certifique-se que a curva é sempre crescente e com curvatura voltada para baixo (não fazer cantos agudos).
Observações práticas: se fosse desenhar num papel quadriculado, os pontos sugeridos dão boa referência para a forma global.

Passo 7

Interpretação como transformação do gráfico de \sqrt{x} (relação com funções do mesmo tipo).
  • A função básica é f(x)=\sqrt{x}, definida em [0,\infty).
  • A nossa função é h(x)=\sqrt{x+1}. Escrevendo h em termos de f:
h(x)=f(x+1).
  • Regra de transformação horizontal: f(x+c) corresponde a deslocar o gráfico de f(x) para a esquerda de c unidades se c>0. Aqui c=1, então o gráfico de \sqrt{x} é deslocado 1 unidade para a esquerda.
  • Por isso:
    • O ponto que em f era (0,0) passa a ser (-1,0) em h.
    • A forma (crescimento, concavidade) não muda, só a posição horizontal.
  • Regra geral para a família: a função
y=\sqrt{x-a}+b
é obtida a partir de y=\sqrt{x} por:
  • deslocamento horizontal de a unidades para a direita (se a>0) ou para a esquerda (se a<0),
  • e deslocamento vertical de b unidades para cima (se b>0) ou para baixo (se b<0).
  • Exemplos rápidos:
    • \sqrt{x-2} é \sqrt{x} deslocada 2 unidades para a direita.
    • \sqrt{x}+3 é \sqrt{x} deslocada 3 unidades para cima.
    • \sqrt{x-2}+3 combina as duas transformações.

Passo 8

Interceptos e pontos importantes resumidos (para conferir no rascunho da prova):
  • Intercepto com o eixo x (zero): solução de \sqrt{x+1}=0 x=-1. Logo x-intercepto em (-1,0).
  • Intercepto com o eixo y: valor em x=0 é h(0)=1. Logo y-intercepto em (0,1).
  • Domínio e imagem já resumidos: domínio [-1,\infty), imagem [0,\infty).

Resposta

Domínio: [-1,\infty)
O gráfico é o de y=\sqrt{x} deslocado 1 unidade para a esquerda (começa em (-1,0), passa por (0,1),(3,2),(8,3), é crescente e côncavo para baixo).

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