Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio de
. - Construir o gráfico de
.
Além disso, pede para identificar como os gráficos das funções “do mesmo tipo” estão relacionados (isto é, comose relaciona com o gráfico de e com a família de funções do tipo ).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é
. - A raiz quadrada aqui é a raiz principal real (ou seja,
retorna valores ). - Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Encontrar o domínio: regra básica sobre raízes quadradas reais.
- Para que
esteja definida realmente, o argumento deve ser maior ou igual a zero. - Aplicando isso ao argumento
, exigimos
- Resolvendo:
Concluímos que o domínio de
é o conjunto de todos os
tais que
. Em notação intervalo:
Explicação intuitiva: pontos com
fazem
negativo e a raiz quadrada real não existe aí; o ponto
é permitido porque
.
Passo 3
Determinar a imagem (faixa de valores) — ajuda a desenhar o gráfico.
- Como a raiz principal é sempre não negativa, para qualquer
do domínio temos . - O menor valor ocorre em
:
- À medida que
, e .
Portanto a imagem (contradomínio atingido) é
Passo 4
Pontos-chave para traçar o gráfico (escolher alguns
fáceis e calcular
).
- Para
: , ponto . - Para
: , ponto . - Para
: , ponto . - Para
: , ponto .
Esses pontos mostram que, ao aumentar
,
aumenta, mas de forma que para grandes aumentos de
o crescimento de
é mais lento (crescimento sublinear).
Passo 5
Forma e propriedades do gráfico (intuição e cálculo das derivadas para justificar formato).
- A função
(para ) é crescente e tem concavidade voltada para baixo. O mesmo vale para em seu domínio porque apenas desloca o eixo. - Derivada (quando
):
Isto mostra que
para
(função estritamente crescente) e que
diminui quando
aumenta (a inclinação fica menor).
- Segunda derivada:
o que confirma que o gráfico é côncavo para baixo no seu domínio.
Conclusão sobre a forma: começa em
com inclinação infinita à direita do ponto inicial (tendendo à verticalmente muito íngreme conforme se aproxima de
), depois sobe cada vez mais lentamente e é côncavo para baixo.
Passo 6
Como desenhar o gráfico passo a passo (sem usar calculadora; com os pontos acima já dá boa ideia):
- Faça um sistema de eixos
e . - Marque o ponto
e desenhe um ponto cheio (fechado) porque está incluído no domínio e . - Marque os pontos
, , . - Una esses pontos por uma curva suave que passa exatamente por eles, começando em
e continuando para a direita sem terminar, subindo lentamente. - Certifique-se que a curva é sempre crescente e com curvatura voltada para baixo (não fazer cantos agudos).
Observações práticas: se fosse desenhar num papel quadriculado, os pontos sugeridos dão boa referência para a forma global.
Passo 7
Interpretação como transformação do gráfico de
(relação com funções do mesmo tipo).
- A função básica é
, definida em . - A nossa função é
. Escrevendo em termos de :
- Regra de transformação horizontal:
corresponde a deslocar o gráfico de para a esquerda de unidades se . Aqui , então o gráfico de é deslocado 1 unidade para a esquerda. - Por isso:
- O ponto que em
era passa a ser em . - A forma (crescimento, concavidade) não muda, só a posição horizontal.
- O ponto que em
- Regra geral para a família: a função
é obtida a partir de
por:
- deslocamento horizontal de
unidades para a direita (se ) ou para a esquerda (se ), - e deslocamento vertical de
unidades para cima (se ) ou para baixo (se ). - Exemplos rápidos:
-
é deslocada 2 unidades para a direita. -
é deslocada 3 unidades para cima. -
combina as duas transformações.
-
Passo 8
Interceptos e pontos importantes resumidos (para conferir no rascunho da prova):
- Intercepto com o eixo
(zero): solução de → . Logo -intercepto em . - Intercepto com o eixo
: valor em é . Logo -intercepto em . - Domínio e imagem já resumidos: domínio
, imagem .
Resposta
Domínio:
O gráfico é o de deslocado 1 unidade para a esquerda (começa em
, passa por
, é crescente e côncavo para baixo).
O gráfico é o de