(2,0) Sabendo-se que \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{+\infty} x^{n} para todo x \in(-1,1), encontre a série de Maclaurin de f(x)=\frac{1}{(x-3)^{2}}, determine também o raio e o intervalo de convergência.
[Dica: Encontre primeiro a série de Maclaurin de g(x)=\frac{1}{3-x} e olhe para g^{\prime}(x).]

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=\frac{1}{(x-3)^2}
além do raio e do intervalo de convergência. A dica sugere primeiro escrever
g(x)=\frac{1}{3-x}
como série de potências (usando a série geométrica) e depois notar que
f(x)=g'(x).

Passo 2

Reescrevendo
\frac{1}{3-x}=\frac{1}{3}\,\frac{1}{1-\frac{x}{3}}
olha a série geométrica
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n\quad\text{para }|u|<1
com u=\tfrac{x}{3}. Assim
g(x)=\frac{1}{3-x} =\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{3^{n+1}},
válida quando \bigl|\tfrac{x}{3}\bigr|<1, ou seja |x|<3.

Passo 3

Como
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{3^{n+1}},
podemos derivar termo a termo para achar
g'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{3^{n+1}}.
Mas g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{3-x}\bigr)=\frac{1}{(3-x)^2}, que é exatamente f(x). Agora basta reindexar: ponha m=n-1, de modo que
f(x) =g'(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{3^{n+1}} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(m+1)\,x^{m}}{3^{m+2}}.

Passo 4

O critério de convergência vem de \bigl|\tfrac{x}{3}\bigr|<1, então o raio de convergência é R=3
e o intervalo de convergência (aberto) é
(-3,3).

Resposta

A expansão de Maclaurin é
\boxed{f(x)=\frac{1}{(x-3)^2} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)\,x^{n}}{3^{n+2}},}
com raio de convergência R=3 e intervalo de convergência (-3,3).

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