Seja
uma constante e considere o gráfico
. Desenhe-o nos seguintes casos:
. Conclua que a esfera unitária
pode ser vista como a união de dois gráficos.
Passo 1
O enunciado dá a família de superfícies (gráficos)
com
constante, e pede para desenhar/nomear os casos
,
e
. Em seguida pede uma conclusão: mostrar que a esfera unitária
pode ser vista como união de dois desses gráficos. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão
exige que . - Os valores pedidos de
são , e . - O objetivo final é conectar esses gráficos com a esfera unitária.
Passo 2
Determinar o domínio comum (onde a raiz é real). A condição
equivale a
Portanto cada gráfico está definido sobre o disco fechado unitário no plano
:
Observação intuitiva: fora desse disco o radicando fica negativo e a função não é real.
Passo 3
Caso
. Substituindo
na expressão obtemos
Interpretação geométrica: o gráfico é o disco unitário no plano
, ou seja, a região circular plana
Esse é um disco plano, não uma superfície curva.
Passo 4
Caso
. A expressão fica
Duas observações importantes:
- Pela raiz quadrada tomada com sinal positivo temos
. - Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como
, os pontos descritos são exatamente os pontos da esfera unitária com coordenada
não negativa. Portanto geometricamente esse gráfico é a metade superior (hemisfério superior) da esfera unitária, incluindo a circunferência do equador onde
e
.
Passo 5
Caso
. A expressão fica
Agora
. Elevando ao quadrado novamente dá
Com a restrição
, esses pontos são exatamente a metade inferior (hemisfério inferior) da esfera unitária, incluindo também a circunferência do equador (
quando
).
Passo 6
Conclusão sobre a união dos gráficos. Qualquer ponto
da esfera unitária satisfaz
Daí
Se
então o ponto pertence ao gráfico com
; se
pertence ao gráfico com
. No caso do equador (
) ambos os gráficos dão
. Logo a esfera inteira é exatamente a união do gráfico com
e do gráfico com
:
Resposta
A esfera