Seja k uma constante e considere o gráfico z=k\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}. Desenhe-o nos seguintes casos: k=0, k=1, k=-1. Conclua que a esfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 pode ser vista como a união de dois gráficos.

Passo 1

O enunciado dá a família de superfícies (gráficos)
z = k\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}},
com k constante, e pede para desenhar/nomear os casos k=0, k=1 e k=-1. Em seguida pede uma conclusão: mostrar que a esfera unitária
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
pode ser vista como união de dois desses gráficos. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão \left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} exige que 1-x^{2}-y^{2}\ge 0.
  • Os valores pedidos de k são 0, 1 e -1.
  • O objetivo final é conectar esses gráficos com a esfera unitária.

Passo 2

Determinar o domínio comum (onde a raiz é real). A condição
1-x^{2}-y^{2}\ge 0
equivale a
x^{2}+y^{2}\le 1.
Portanto cada gráfico está definido sobre o disco fechado unitário no plano xy:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Observação intuitiva: fora desse disco o radicando fica negativo e a função não é real.

Passo 3

Caso k=0. Substituindo k=0 na expressão obtemos
z=0\quad\text{para }(x,y)\in D.
Interpretação geométrica: o gráfico é o disco unitário no plano z=0, ou seja, a região circular plana
\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Esse é um disco plano, não uma superfície curva.

Passo 4

Caso k=1. A expressão fica
z=\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}},\qquad (x,y)\in D.
Duas observações importantes:
  1. Pela raiz quadrada tomada com sinal positivo temos z\ge 0.
  2. Elevando ambos os lados ao quadrado:
z^{2}=1-x^{2}-y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Como z\ge 0, os pontos descritos são exatamente os pontos da esfera unitária com coordenada z não negativa. Portanto geometricamente esse gráfico é a metade superior (hemisfério superior) da esfera unitária, incluindo a circunferência do equador onde x^{2}+y^{2}=1 e z=0.

Passo 5

Caso k=-1. A expressão fica
z=-\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}},\qquad (x,y)\in D.
Agora z\le 0. Elevando ao quadrado novamente dá
z^{2}=1-x^{2}-y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Com a restrição z\le 0, esses pontos são exatamente a metade inferior (hemisfério inferior) da esfera unitária, incluindo também a circunferência do equador ( z=0 quando x^{2}+y^{2}=1).

Passo 6

Conclusão sobre a união dos gráficos. Qualquer ponto (x,y,z) da esfera unitária satisfaz
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad z^{2}=1-x^{2}-y^{2}.
Daí
z=\pm\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}.
Se z\ge 0 então o ponto pertence ao gráfico com k=1; se z\le 0 pertence ao gráfico com k=-1. No caso do equador ( x^{2}+y^{2}=1) ambos os gráficos dão z=0. Logo a esfera inteira é exatamente a união do gráfico com k=1 e do gráfico com k=-1:
\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}= \{(x,y,z)\mid z=\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}},\; (x,y)\in D\}\\ \cup\\ \{(x,y,z)\mid z=-\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}},\; (x,y)\in D\}.

Resposta

k=0: o gráfico é o disco unitário no plano z=0, isto é \{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.\n
k=1: o gráfico é o hemisfério superior da esfera unitária, dado por z=\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}},\\ x^{2}+y^{2}\le 1.\n
k=-1: o gráfico é o hemisfério inferior da esfera unitária, dado por z=-\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}},\\ x^{2}+y^{2}\le 1.\n
A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 é a união desses dois gráficos (hemisférios superior e inferior).

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