Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
f(x, y)=8-2 x-4 y

Passo 1

O enunciado considera a função
fcolonR^2toR, f(x,y)=8-2x-4y
e pede:
1. O domínio de f.
2. As interseções do gráfico de f com os planos coordenados x=0, y=0 e z=0.
3. As curvas de nível f(x,y)=c.
4. Um esboço do gráfico (superfície) de f.

Passo 2

Domínio: como f(x,y) é polinomial em x,y, não há restrição, logo
Dom(f)=R^2

Passo 3

Interseções com os planos coordenados:
– Plano x=0: aqui f(0,y)=8-4y, então o gráfico corta esse plano na reta
(0,y,8-4y)mid yinR
– Plano y=0: aqui f(x,0)=8-2x, então o gráfico corta esse plano na reta
(x,0,8-2x)mid xinR
– Plano z=0: impomos 8-2x-4y=0, isto é
2x+4y=8Long<=ftrightarrow x+2y=4,
logo a interseção é a reta
(x,y,0)mid x+2y=4

Passo 4

Curvas de nível f(x,y)=c:
8-2x-4y=c Long<=ftrightarrow 2x+4y=8-c Long<=ftrightarrow x+2y=8-c2
Cada nível c define uma reta de coeficiente angular -tfrac12 em (x,y).

Passo 5

Esboço do gráfico:
– É um plano no espaço com interceptos nos eixos dados por
(4,0,0),(0,2,0),(0,0,8),
pois em (x,0,0) temos 8-2x=0Rightarrow x=4, em (0,y,0) temos 8-4y=0Rightarrow y=2, e em (0,0,z) temos z=f(0,0)=8.
– Basta ligar esses três pontos para desenhar um triângulo representativo do plano.

Resposta

Domínio: R^2.
Interseções com planos coordenados:
bul<=t em x=0: reta (0,y,8-4y);
bul<=t em y=0: reta (x,0,8-2x);
bul<=t em z=0: reta (x,y,0)mid x+2y=4.
Curvas de nível: retas x+2y=(8-c)/2 para cada c.
Gráfico: plano que intercepta os eixos nos pontos (4,0,0), (0,2,0) e (0,0,8).

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