Use o Teste da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a convergência ou a divergência das séries abaixo:
sumn=1^infty 2+cos nn^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Comparação (ou Comparação no Limite) para decidir se a série
sumn=1^infty 2+cos nn^2
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e o teste de comparação com a série-p de parâmetro p=2.

Passo 2

Note que, para todo ninN, temos cos nin[-1,1]. Assim,
2+cos nin[1,3]
Logo, o termo geral satisfaz
0 < 2+cos nn^2 <= 3n^2

Passo 3

A série
sumn=1^infty 3n^2 =3sumn=1^infty 1n^2
é convergente, pois é uma série-p com p=2>1. Pelo teste da comparação direta, conclui-se que
sumn=1^infty 2+cos nn^2
também converge.

Resposta

A série converge.

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