Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas para a função
- Determinar o domínio.
- Determinar e traçar as interseções do gráfico
com os planos coordenados , e . - Determinar e traçar as curvas de nível
. - Esboçar o gráfico da superfície.
Para isso usaremos conceitos de domínio de funções polinomiais, interseção de superfícies com planos e estudo de curvas de nível em funções de duas variáveis.
Passo 2
Como
é um polinômio em
e não há divisão por zero nem raiz par de número negativo, o domínio é todo o plano:
Passo 3
Intersecção com cada plano coordenado em
:
- Plano
(onde ). Impõe , logo . A interseção é a reta
que é o eixo
.
2. Plano (onde
). Impondo
ficamos com
2. Plano
ou seja, a parábola no plano
dada por
3. Plano (onde
). Impondo
dá
, de novo a reta
3. Plano
que coincide com a interseção do plano
e da superfície.
Passo 4
Curvas de nível
. Resolve-se
- Se
, não há solução real. - Se
, , curva de nível é a reta vertical no plano . - Se
, , são duas retas paralelas e , para todo .
Passo 5
Esboço do gráfico: como
não depende de
, para cada valor fixo de
a seção da superfície é a mesma parábola
. Portanto o gráfico é um cilindro parabólico que se abre no sentido positivo de
, paralelo ao eixo
.
Resposta
Domínio:
.
Interseções:
Interseções:
- Com
: reta . - Com
: parábola . - Com
: reta .
Curvas de nível: -
: vazia. -
: reta . -
: retas .
Gráfico: cilindro parabólicoparalelo ao eixo .