Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
f(x, y)=x^2

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas para a função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=x^2:
  1. Determinar o domínio.
  2. Determinar e traçar as interseções do gráfico z=f(x,y) com os planos coordenados xy, xz e yz.
  3. Determinar e traçar as curvas de nível f(x,y)=c.
  4. Esboçar o gráfico da superfície.
    Para isso usaremos conceitos de domínio de funções polinomiais, interseção de superfícies com planos e estudo de curvas de nível em funções de duas variáveis.

Passo 2

Como é um polinômio em e não há divisão por zero nem raiz par de número negativo, o domínio é todo o plano:

Passo 3

Intersecção com cada plano coordenado em R^3:
  1. Plano xy (onde z=0). Impõe x^2=0, logo x=0. A interseção é a reta
(0,y,0)mid yinR,
que é o eixo Oy.
2. Plano xz (onde y=0). Impondo y=0 ficamos com
z = x^2,
ou seja, a parábola no plano xz dada por (x,0,x^2)mid xinR
3. Plano yz (onde x=0). Impondo x=0 z=0, de novo a reta
(0,y,0)mid yinR,
que coincide com a interseção do plano yz e da superfície.

Passo 4

Curvas de nível f(x,y)=c. Resolve-se
x^2 = c
  • Se c<0, não há solução real.
  • Se c=0, x=0, curva de nível é a reta vertical x=0 no plano xy.
  • Se c>0, x=pmraizc, são duas retas paralelas x=raizc e x=-raizc, para todo yinR.

Passo 5

Esboço do gráfico: como f não depende de y, para cada valor fixo de y a seção da superfície é a mesma parábola z=x^2. Portanto o gráfico é um cilindro parabólico que se abre no sentido positivo de z, paralelo ao eixo Oy.

Resposta

Domínio: R^2.
Interseções:
  • Com xy: reta (0,y,0).
  • Com xz: parábola (x,0,x^2).
  • Com yz: reta (0,y,0).
    Curvas de nível:
  • c<0: vazia.
  • c=0: reta x=0.
  • c>0: retas x=pmraizc.
    Gráfico: cilindro parabólico z=x^2 paralelo ao eixo Oy.

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