Observe o limite do termo geral e conclua que as séries abaixo são divergentes:
sumn=1^infty(raizn+raizn+1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^inftyl(raizn+raizn+1r)
é divergente, observando o limite do termo geral. O conteúdo que vamos usar é o teste da divergência, que afirma que se
limntoinftyanneq 0, então a série sum an não pode convergir.

Passo 2

Pelo teste da divergência, basta calcular o limite do termo geral
an = raizn + raizn+1
e verificar se ele é diferente de zero (ou não existe).

Passo 3

Vamos examinar
limntoinftyl(raizn+raizn+1r)
Fatorando raizn, temos
raizn+raizn+1 = raizn,l(1+raiz1+tfrac1nr)
Como raiz1+tfrac1nto1 quando ntoinfty, o fator l(1+raiz1+tfrac1nr)to2 e raizntoinfty. Logo
limntoinftyl(raizn+raizn+1r)=inftyneq 0

Passo 4

Como o termo geral não tende a zero, o teste da divergência garante que a série não converge.

Resposta

A série é divergente.

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