Determine o domínio e esboce o gráfico da função g(x)=cx^3+3 x^2-x-3x-1, x neq 1 4, x=1

Passo 1

O enunciado define a função por partes
g(x)= dfracx^3+3x^2-x-3x-1,&xneq1,[6pt] 4,&x=1,
pede domínio e esboço do gráfico. O conteúdo envolve fatoração de polinômios, descontinuidade removível e estudo de uma parábola.]

Passo 2

Vamos fatorar o numerador
x^3+3x^2-x-3 = x^2(x+3)-1(x+3) = (x+3)(x^2-1) = (x+3)(x-1)(x+1)
Para xneq1, cancela-se o fator (x-1) e
g(x)=x+3,(x+1)=x^2+4x+3

Passo 3

O ramo racional exige xneq1, mas há valor definido em x=1. Então
Dom,g=R

Passo 4

A curva para xneq1 é a parábola
y=x^2+4x+3,
que abre para cima (coeficiente líder positivo).
Vértice em
xv=-42=-2, yv=(-2)^2+4(-2)+3=-1
Interceptos:
y(0)=3, x^2+4x+3=0Rightarrow x=-1,,-3

Passo 5

No esboço, desenhamos a parábola completa, mas em x=1 colocamos:
  • um círculo aberto em (1,,1^2+4cdot1+3)=(1,8) (removido pelo denominador),
  • um ponto cheio em (1,4) (valor definido pela segunda parte).

Resposta

Domínio: R.\n
Gráfico: parábola y=x^2+4x+3 com vértice em (-2,-1), raízes em (-3,0) e (-1,0), intercepto em (0,3); em x=1 há um ponto aberto em (1,8) e um ponto preenchido em (1,4).

Exercícios relacionados