Determine se a sequência diverge ou converge, se ela converge encontre o valor do limite.
an=raizn-raizn-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = raizn - raizn-1
e determinar se ela converge ou diverge; se convergir, encontrar limntoinftyan. O conteúdo aqui é limite de sequência e manipulações algébricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Racionalizo a diferença para obter uma forma mais simples:
an = raizn - raizn-1 = (raizn-raizn-1)(raizn+raizn-1)raizn+raizn-1 = n - (n-1)raizn + raizn-1 = 1raizn + raizn-1

Passo 3

Analiso o comportamento quando ntoinfty. Como
raizn + raizn-1toinfty,
segue que
limntoinftyan = limntoinfty1raizn + raizn-1 = 0
Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 0.

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