Seja
o centróide da curva
. Use o Teorema de PappusGuldin para encontrar
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede o centróide
da curva
e, em especial, encontrar
usando o Teorema de Pappus–Guldin.
Conteúdo: centróide de arco de curva e Teorema de Pappus–Guldin.
Vamos precisar de:
Conteúdo: centróide de arco de curva e Teorema de Pappus–Guldin.
Vamos precisar de:
- derivar
para achar o elemento de arco , - montar as integrais
e , - aplicar
.
Passo 2
Teorema de Pappus–Guldin (1º teorema) diz: se você gira uma curva plana em torno de um eixo externo, a área da superfície gerada é
No caso de giro em torno do eixo
, a distância percorrida é
.
Por outro lado, a mesma área pode ser calculada por
Por outro lado, a mesma área pode ser calculada por
Igualando as duas e cancelando
, vem
Passo 3
Calcular
.
Temos , logo
Temos
Então o elemento de arco é
Dessa forma:
Passo 4
Calcular
.
Use a primitiva conhecida:
Use a primitiva conhecida:
Avaliando de
a
:
Passo 5
Calcular
.
Use ,
, então
Use
Voltando a
:
Passo 6
Agora basta montar