Seja (barx, bary) o centróide da curva y=12(x^2+1), 0 <= x <= 1. Use o Teorema de PappusGuldin para encontrar barx.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o centróide (bar x,bar y) da curva
y = tfrac12l(x^2+1r), 0<= x<=1
e, em especial, encontrar bar x usando o Teorema de Pappus–Guldin.
Conteúdo: centróide de arco de curva e Teorema de Pappus–Guldin.
Vamos precisar de:
  1. derivar y para achar o elemento de arco ds,
  2. montar as integrais L=integral0^1ds e integral0^1 x,ds,
  3. aplicar bar x = integral x,ds L.

Passo 2

Teorema de Pappus–Guldin (1º teorema) diz: se você gira uma curva plana em torno de um eixo externo, a área da superfície gerada é
S ;=; (comprimento da curva);times;(distância percorrida pelo centróide) âó
No caso de giro em torno do eixo y, a distância percorrida é 2pi,bar x.
Por outro lado, a mesma área pode ser calculada por
S ;=; 2piintegralcurva x,ds
Igualando as duas e cancelando 2pi, vem
bar x ;=;integral0^1 x,dsintegral0^1ds

Passo 3

Calcular ds.
Temos y = tfrac12(x^2+1), logo
y' = ddxl[tfrac12(x^2+1)r] = x
Então o elemento de arco é
ds = raiz1 + (y')^2,dx = raiz1 + x^2,dx
Dessa forma:
L = integral0^1 raiz1 + x^2,dx, integral0^1 x,ds = integral0^1 x,raiz1 + x^2,dx

Passo 4

Calcular L = integral0^1raiz1 + x^2,dx.
Use a primitiva conhecida:
integralraiz1+x^2,dx = x2raiz1+x^2 + 12lnl(x + raiz1+x^2r)
Avaliando de 0 a 1:
L = l[tfracx2raiz1+x^2 + tfrac12ln(x+raiz1+x^2)r]0^1 = raiz22 + 12lnl(1+raiz2r)

Passo 5

Calcular integral0^1 xraiz1 + x^2,dx.
Use t=1+x^2, dt = 2x,dx, então
integral xraiz1+x^2,dx = 12integral t^1/2,dt = 12cdot23,t^3/2 = t^3/23
Voltando a x:
integral0^1 xraiz1+x^2,dx = l[tfrac(1+x^2)^3/23r]0^1 = 2^3/2-13 = 2raiz2 - 13

Passo 6

Agora basta montar
bar x = integral0^1 x,dsintegral0^1 ds = tfrac2raiz2 - 13 tfracraiz22 + tfrac12lnl(1+raiz2r) = 2(2raiz2 - 1)3l(raiz2 + ln(1+raiz2)r)

Resposta

boxed bar x ;=;2l(2raiz2 - 1r)3l(raiz2 + ln(1+raiz2)r) approx0,531

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