Determine os domínio e esboce gráficos da função
Passo 1
O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
Isto é uma função racional do tipo “reta sobre reta”. Para esboçar o gráfico, vamos determinar passo a passo o domínio, as assíntotas, os interceptos, a monotonicidade e o comportamento nos limites, e só então montar o desenho.
Passo 2
O denominador não pode ser zero. Logo o domínio é
Passo 3
Para encontrar assíntotas, fazemos a divisão de polinômios:
Dessa forma vemos
– assíntota vertical em ,
– assíntota horizontal em .
– assíntota vertical em
– assíntota horizontal em
Passo 4
Intercepto em
(zero de
):
dando o ponto
.
Intercepto em :
Intercepto em
dando o ponto
.
Passo 5
A derivada é
logo
é estritamente crescente em cada um dos intervalos
e
.
Passo 6
Estudamos os limites para completar o comportamento:
– :
⇒
.
– :
⇒
.
– :
⇒
.
–
–
–
Passo 7
Com tudo isso, o esboço tem duas “ramificações” de hipérbole:
- Para
: é crescente, tende a quando , e a quando . Passa pelo ponto e fica sempre acima de . - Para
: é crescente, tende a quando , e a quando . Passa pelo ponto e fica sempre abaixo de .
As linhas tracejadase são as assíntotas.
Resposta
Domínio:
Gráfico: hipérbole com assíntota vertical
, horizontal
, ramo para
acima de
e ramo para
abaixo de
, cruzando
e
.