Determine os domínio e esboce gráficos da função
f(x)=\frac{x-2}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
f(x)=\frac{x-2}{x-1}.
Isto é uma função racional do tipo “reta sobre reta”. Para esboçar o gráfico, vamos determinar passo a passo o domínio, as assíntotas, os interceptos, a monotonicidade e o comportamento nos limites, e só então montar o desenho.

Passo 2

O denominador não pode ser zero. Logo o domínio é
\mathrm{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x-1\neq0\}=(-\infty,1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Para encontrar assíntotas, fazemos a divisão de polinômios:
\frac{x-2}{x-1} =1-\frac{1}{\,x-1\,}.
Dessa forma vemos
– assíntota vertical em x=1,
– assíntota horizontal em y=1.

Passo 4

Intercepto em x (zero de f):
f(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x-2=0\quad\Longrightarrow\quad x=2,
dando o ponto (2,0).
Intercepto em y:
f(0)=\frac{0-2}{0-1}=2,
dando o ponto (0,2).

Passo 5

A derivada é
f'(x) =\frac{(x-1)\cdot1-(x-2)\cdot1}{(x-1)^2} =\frac{1}{(x-1)^2}>0\quad(\forall x\neq1),
logo f é estritamente crescente em cada um dos intervalos (-\infty,1) e (1,\infty).

Passo 6

Estudamos os limites para completar o comportamento:
x\to1^-: \tfrac1{x-1}\to -\infty f(x)\to+\infty.
x\to1^+: \tfrac1{x-1}\to +\infty f(x)\to-\infty.
x\to\pm\infty: \tfrac1{x-1}\to0 f(x)\to1.

Passo 7

Com tudo isso, o esboço tem duas “ramificações” de hipérbole:
  • Para x<1: f é crescente, tende a 1 quando x\to-\infty, e a +\infty quando x\to1^-. Passa pelo ponto (0,2) e fica sempre acima de y=1.
  • Para x>1: f é crescente, tende a -\infty quando x\to1^+, e a 1 quando x\to+\infty. Passa pelo ponto (2,0) e fica sempre abaixo de y=1.
    As linhas tracejadas x=1 e y=1 são as assíntotas.

Resposta

Domínio:
(-\infty,1)\cup(1,\infty).
Gráfico: hipérbole com assíntota vertical x=1, horizontal y=1, ramo para x<1 acima de y=1 e ramo para x>1 abaixo de y=1, cruzando (0,2) e (2,0).

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