Sem usar a regra de L’Hospital, calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{\operatorname{sen}(8 x)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(8x)}
sem usar a regra de L’Hospital. Vamos usar o fato bem conhecido de que
\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de forma a aparecer esse limite padrão duas vezes. Observe:
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(8x)} =\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}\;\cdot\;\frac{8x}{\operatorname{sen}(8x)}\;\cdot\;\frac{3x}{8x}
Aqui extraímos fatores para usar \frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x} e \frac{\operatorname{sen}(8x)}{8x}.

Passo 3

Agora aplicamos o limite em cada parte:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}=1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{8x}{\operatorname{sen}(8x)} =\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(8x)}{8x}\Bigr)^{-1}=1,
e ainda
\lim_{x\to0}\frac{3x}{8x}=\frac{3}{8}.

Passo 4

Multiplicando os resultados:
1\;\times\;1\;\times\;\frac{3}{8} =\frac{3}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{8}

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