Questão 4.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função h(x)=\frac{1}{x}, no ponto de abscissa x=2.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de h(x)=\frac{1}{x} no ponto de abscissa x=2. Para isso, precisamos do valor de h em x=2 e da derivada h' nesse ponto, pois o coeficiente angular da reta tangente é dado por h'(2).

Passo 2

Calcular a ordenada do ponto de tangência:
h(2) = \frac{1}{2}.

Passo 3

Determinar a derivada de h e o coeficiente angular em x=2. Como h(x)=x^{-1}, pela regra da potência temos
h'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2},
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h'(2) = -\frac{1}{4}.

Passo 4

Usar a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y - h(2) = h'(2)\,(x - 2).
Substituindo h(2)=\tfrac12 e h'(2)=-\tfrac{1}{4}, vem
y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2).
Expandindo e isolando y:
y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{2}{4} \quad\Longrightarrow\quad y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{1}{4}x + 1.

Resposta

y = -\frac{1}{4}x + 1

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