Determine o domínio e uma expressão para a inversa de
passando pelo ponto
:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o domínio e encontrar a expressão da função inversa de
, passando pelo ponto
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função logarítmica exige que o que está dentro do log seja positivo, ou seja:
Passo 3
Resolvendo a inequação:
Então, o domínio de
é todos os números reais maiores que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função inversa de
. Para isso, trocamos
por
e resolvemos para
:
Passo 5
Aplicando a função exponencial dos dois lados para eliminar o logaritmo:
Passo 6
Isolando
:
Então, a função inversa é:
Podemos também escrever em termos de
:
Passo 7
Por fim, vamos verificar se o ponto
está na função inversa. Substituindo
na função inversa:
Então, o ponto realmente está na função inversa.
Resposta
O domínio de
é
e a função inversa é
.