Determine o domínio e uma expressão para a inversa de f passando pelo ponto P :
(a) f(x) = x^2, P = (4, 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio da função e encontrar uma expressão para a função inversa dessa função que passe pelo ponto . O conteúdo aqui envolve funções quadráticas e suas inversas. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio, função inversa e como encontrar essa inversa passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como estamos elevando ao quadrado, podemos fazer isso com qualquer número real. Portanto, o domínio de é:
íú

Passo 3

Agora, para encontrar a função inversa de , precisamos garantir que a função seja injetora (isto é, cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada). A função não é injetora em todo o seu domínio porque tanto quanto dão o mesmo resultado . Para contornar isso, vamos restrigir o domínio da função original.

Passo 4

Vamos restringir o domínio de para . Dessa forma, a função se torna injetora e podemos encontrar a inversa sem problemas. Então, o novo domínio é:
í

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função inversa. A inversa de é uma função que “desfaz” o quadrado. Para encontrar , resolvemos a equação para :
Portanto, a função inversa é:

Passo 6

Porém, o enunciado pede que a inversa passe pelo ponto . Isso significa que quando , . Vamos verificar com a nossa inversa:
Está tudo certo! A inversa que encontramos atende a essa condição.

Resposta

O domínio de é e a função inversa que passa pelo ponto é .

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