Determine o domínio e uma expressão para a inversa de
passando pelo ponto
:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio da função
e encontrar uma expressão para a função inversa dessa função que passe pelo ponto
. O conteúdo aqui envolve funções quadráticas e suas inversas. Para resolver, vamos precisar entender o que é domínio, função inversa e como encontrar essa inversa passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como estamos elevando
ao quadrado, podemos fazer isso com qualquer número real. Portanto, o domínio de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar a função inversa de
, precisamos garantir que a função seja injetora (isto é, cada valor de saída corresponde a apenas um valor de entrada). A função
não é injetora em todo o seu domínio porque tanto
quanto
dão o mesmo resultado
. Para contornar isso, vamos restrigir o domínio da função original.
Passo 4
Vamos restringir o domínio de
para
. Dessa forma, a função se torna injetora e podemos encontrar a inversa sem problemas. Então, o novo domínio é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função inversa. A inversa de
é uma função que “desfaz” o quadrado. Para encontrar
, resolvemos a equação
para
:
Portanto, a função inversa é:
Passo 6
Porém, o enunciado pede que a inversa passe pelo ponto
. Isso significa que quando
,
. Vamos verificar com a nossa inversa:
Está tudo certo! A inversa que encontramos atende a essa condição.
Resposta
O domínio de
é
e a função inversa que passa pelo ponto
é
.