Determine o domínio e uma expressão para a inversa de f passando pelo ponto P :
(d) f(x) = e^x / (3 + e^x), P = (1/4, 0)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função e um ponto . A tarefa é descobrir dois itens:
  1. Domínio da função inversa : Isso significa encontrar todos os valores que pode aceitar como entrada.
  2. Expressão para : Queremos uma fórmula que nos dê o inverso da função .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como encontrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa de , denotada por , “desfaz” a ação de . Ou seja, se , então .
No nosso caso, sabemos que o ponto está na função inversa. Isso significa que . Consequentemente, .

Passo 3

Agora, para encontrar a expressão da função inversa , vamos seguir os seguintes passos:
  1. Substituir por :
  2. Resolver a equação para :
    • Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
    • Distribuímos o :
    • Subtraímos de ambos os lados:
    • Dividimos ambos os lados por :
    • Aplicamos o logaritmo natural para resolver para :
Portanto, a expressão para a função inversa é:

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio da função inversa . O domínio de é exatamente o intervalo de valores que pode assumir, ou seja, o contradomínio de .
Observando a função original :
  • Quando tende a , tende a 0, então tende a 0.
  • Quando tende a , cresce muito, e tende a .
Portanto, nunca atinge 0 nem 1, mas se aproxima desses valores. Assim, o domínio de é:

Resposta

Domínio da função inversa :
Expressão da função inversa:

Exercícios relacionados