Determine o domínio e uma expressão para a inversa de
passando pelo ponto
:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função
e um ponto
. A tarefa é descobrir dois itens:
- Domínio da função inversa
: Isso significa encontrar todos os valores que pode aceitar como entrada. - Expressão para
: Queremos uma fórmula que nos dê o inverso da função .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função inversa e como encontrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa de
, denotada por
, “desfaz” a ação de
. Ou seja, se
, então
.
No nosso caso, sabemos que o ponto
está na função inversa. Isso significa que
. Consequentemente,
.
Passo 3
Agora, para encontrar a expressão da função inversa
, vamos seguir os seguintes passos:
-
Substituir
por : -
Resolver a equação para
: - Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador: - Distribuímos o
: - Subtraímos
de ambos os lados: - Dividimos ambos os lados por
: - Aplicamos o logaritmo natural para resolver para
:
- Multiplicamos ambos os lados por
Portanto, a expressão para a função inversa é:
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio da função inversa
. O domínio de
é exatamente o intervalo de valores que
pode assumir, ou seja, o contradomínio de
.
Observando a função original
:
- Quando
tende a , tende a 0, então tende a 0. - Quando
tende a , cresce muito, e tende a .
Portanto,
nunca atinge 0 nem 1, mas se aproxima desses valores. Assim, o domínio de
é:
Resposta
Domínio da função inversa
:
Expressão da função inversa: