Determine o domínio de f e faça um esboço gráfico:
f(x, y)=16-x^{2}-4 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de f(x,y)=16 - x^{2} - 4y^{2} e um esboço gráfico de sua superfície em \mathbb{R}^{3}. Para isso precisamos identificar onde a função está definida (restrições em x,y) e reconhecer que tipo de quadriculada ela forma (para desenhar seu formato).

Passo 2

Como f é um polinômio em x e y, não há denominadores, raízes ou logaritmos que criem restrições. Logo o domínio é todo o plano:
\text{Domínio}(f)=\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\,y\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^{2}.í

Passo 3

Para esboçar o gráfico, note que f é uma soma de termos quadráticos negativos mais uma constante. Isso caracteriza um paraboloide elíptico voltado para baixo. O vértice ocorre onde x^{2} e y^{2} se anulam, ou seja em (0,0), dando
f(0,0)=16.

Passo 4

As curvas de nível (interseção com planos z=c) satisfazem
f(x,y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+4y^{2}=16-c,
existindo somente para c\le16. São elipses centradas em (0,0) com semi-eixos
\sqrt{16-c} ao longo de x e \sqrt{\tfrac{16-c}{4}} ao longo de y.
As seções pelas retas y=0 e x=0 são as parábolas
f(x,0)=16-x^{2}, \qquad f(0,y)=16-4y^{2},
o que reforça o formato de tampa invertida do paraboloide.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}.
Gráfico: paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em (0,0,16) e curvas de nível elípticas dadas por \,x^{2}+4y^{2}=16-c para c\le16.

Exercícios relacionados