Determine o domínio de
e faça um esboço gráfico:
Passo 1
O enunciado pede o domínio de
e um esboço gráfico de sua superfície em
. Para isso precisamos identificar onde a função está definida (restrições em
) e reconhecer que tipo de quadriculada ela forma (para desenhar seu formato).
Passo 2
Como
é um polinômio em
e
, não há denominadores, raízes ou logaritmos que criem restrições. Logo o domínio é todo o plano:
Passo 3
Para esboçar o gráfico, note que
é uma soma de termos quadráticos negativos mais uma constante. Isso caracteriza um paraboloide elíptico voltado para baixo. O vértice ocorre onde
e
se anulam, ou seja em
, dando
Passo 4
As curvas de nível (interseção com planos
) satisfazem
existindo somente para
. São elipses centradas em
com semi-eixos
ao longo de
e
ao longo de
.
As seções pelas retas e
são as parábolas
As seções pelas retas
o que reforça o formato de tampa invertida do paraboloide.
Resposta
Domínio:
.
Gráfico: paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em e curvas de nível elípticas dadas por
para
.
Gráfico: paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em