Determine o domínio de f e faça um esboço gráfico:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}-y}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=\sqrt{x^{2}-y}
e um esboço do gráfico de z=f(x,y). O ponto principal é lembrar que, sob a raiz, a expressão deve ser não negativa, e em seguida descrever a superfície no espaço.

Passo 2

Para que a raiz seja real, é necessário
x^{2}-y\ge 0
ou seja
y\le x^{2}.
Logo o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\le x^{2}\}.

Passo 3

O gráfico de z=f(x,y) é a superfície
z=\sqrt{x^{2}-y},\quad (x,y)\in D.
Elevando ao quadrado, obtemos a forma
z^{2}=x^{2}-y
\Longrightarrow y = x^{2}-z^{2},
com z\ge 0. Isso descreve a “meia” superfície de um cone quadrático cujo vértice fica na origem e que se abre ao longo do eixo negativo y.

Passo 4

As curvas de nível z=c (com c\ge0) satisfazem
c=\sqrt{x^{2}-y}
\Longrightarrow y = x^{2}-c^{2}.
Para cada c fixo, temos uma parábola no plano xy deslocada pra baixo de c^{2}. No gráfico 3D, essas parábolas vão empilhadas conforme z cresce.

Passo 5

Para visualizar cortes:
  • Corte por y= constante: z=\sqrt{x^{2}-y} é a clássica curva raiz que existe só se |x|\ge\sqrt{y}.
  • Corte por x= constante: em cada plano paralelo a yz, z=\sqrt{a^{2}-y} é um ramo de raiz quadrada invertida em y.
    Assemblando tudo, obtemos a superfície que parte do contorno y=x^{2},\,z=0 e cresce para z>0 à medida que y fica menor.

Resposta

Domínio:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\le x^{2}\}.
Gráfico: superfície definida por
z=\sqrt{x^{2}-y},\quad y\le x^{2},
que corresponde à “meia” superfície do cone quadrático y=x^{2}-z^{2} com z\ge0.

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