Usando a definição de produto interno
\langle\bar{x}, \bar{y}\rangle=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}
e considerando em \mathbb{R}^{2}: \bar{x}=(1,3), \bar{y}=(2,3). Calcule o que se pede
(a) O produto interno \langle\bar{x}, \bar{y}\rangle.
(b) A norma \|\bar{x}\|.
(c) A norma \|\bar{y}\|.
(d) O ângulo \theta entre \bar{x} e \bar{y}.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço \mathbb{R}^2 equipado pelo produto interno canônico
\langle\bar{x},\bar{y}\rangle = x_1y_1 + x_2y_2.
As coordenadas dadas são \bar{x}=(1,3) e \bar{y}=(2,3). Vamos usar essa definição para calcular (a) o produto interno, (b) a norma de \bar{x}, (c) a norma de \bar{y} e (d) o ângulo \theta entre \bar{x} e \bar{y}.

Passo 2

Calculamos o produto interno:
\langle\bar{x},\bar{y}\rangle = 1\cdot 2 + 3\cdot 3 = 2 + 9 = 11.

Passo 3

A norma de \bar{x} é dada por
\|\bar{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}.

Passo 4

A norma de \bar{y} é
\|\bar{y}\| = \sqrt{y_1^2 + y_2^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

Passo 5

O ângulo \theta satisfaz
\cos\theta = \frac{\langle\bar{x},\bar{y}\rangle}{\|\bar{x}\|\;\|\bar{y}\|} = \frac{11}{\sqrt{10}\,\sqrt{13}} = \frac{11}{\sqrt{130}}.
Logo,
\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{11}{\sqrt{130}}\biggr) \approx 0,270\text{ rad} \approx 15,5^\circ.

Resposta

(a) 11
(b) \sqrt{10}
(c) \sqrt{13}
(d) \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{11}{\sqrt{130}}\bigr)\approx 0,270\text{ rad}\approx 15,5^\circ

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