Seja a função g de duas variáveis x e y de tal forma que
z=\sqrt{x-y} \quad \Leftrightarrow \quad g(x, y)=\sqrt{x-y}
Determine:
(a) g(3,5)
(b) g(-4,-9)
(c) g(x+2,4 x+4)
(d) g\left(\frac{1}{x},-3\right)
(e) Qual o domínio D_{g} e a imagem I m dessa função?

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
g(x,y)=\sqrt{x-y}
e pede para calcular valores específicos, fazer substituições e, por fim, determinar domínio e imagem. Vamos usar o fato de que para a raiz quadrada estar definida em \mathbb{R} precisamos ter x-y\ge0.

Passo 2

Para calcular g(3,5) verificamos primeiro se (3,5) está no domínio:
3-5=-2<0, logo não satisfaz a condição x-y\ge0. Portanto
g(3,5)\text{ não está definido (não pertence ao domínio).}ãáãí

Passo 3

Para g(-4,-9) calculamos
-4 -(-9)=5\ge0,
então
g(-4,-9)=\sqrt{5}.

Passo 4

Para g(x+2,4x+4) fazemos a substituição
g(x+2,4x+4)=\sqrt{(x+2)-(4x+4)} =\sqrt{-3x-2}.

Passo 5

Para g\bigl(\tfrac{1}{x},-3\bigr) temos
g\Bigl(\tfrac{1}{x},-3\Bigr) =\sqrt{\tfrac{1}{x}-(-3)} =\sqrt{\tfrac{1}{x}+3}.

Passo 6

O domínio de g é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que x-y\ge0, ou seja
D_{g}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x-y\ge0\}.
Como a raiz quadrada varia de 0 a \infty, a imagem é
\mathrm{Im}(g)=[0,\infty).

Resposta

(a) g(3,5) não está definido (não pertence ao domínio).
(b) g(-4,-9)=\sqrt{5}.
(c) g(x+2,4x+4)=\sqrt{-3x-2}.
(d) g\bigl(\tfrac{1}{x},-3\bigr)=\sqrt{\tfrac{1}{x}+3}.
(e)
D_{g}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x-y\ge0\}, \quad \mathrm{Im}(g)=[0,\infty).

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