Determine o domínio de

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função f(x)=raizx-2raiz[3]x^2-8x+15. O assunto é análise de domínio em funções que envolvem raízes (raiz quadrada no numerador e raiz cúbica no denominador), então vamos precisar das condições de existência de raízes pares e ímpares, além da proibição de divisão por zero.

Passo 2

Primeiro, considere a raiz quadrada que está no numerador. Para que raizx-2 esteja definida em números reais, o radicando tem que ser não negativo. Logo,
x-2>=0Longrightarrow x>=2

Passo 3

Em seguida, olhe para a raiz cúbica que está no denominador. Uma raiz de índice ímpar está sempre definida para qualquer radicando, mas como está no denominador não podemos ter divisão por zero. Então precisamos que
raiz[3]x^2-8x+15ne0Longrightarrow x^2-8x+15ne0

Passo 4

Resolva a inequação de divisibilidade para excluir as raízes do polinômio:
x^2-8x+15=0Longrightarrow(x-3)(x-5)=0Longrightarrow x=3 ou x=5
Portanto, a condição do denominador é xne3 e xne5. Agora basta combinar com x>=2 do primeiro passo. Assim, o domínio é todos os x maiores ou iguais a 2, exceto 3 e 5.

Resposta

[2,3)cup(3,5)cup(5,infty)

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