Suponha que uma partícula se move sobre o eixo Ox com aceleração dada, em cada instante t, por a(t)=(9-18 t) e^-3 t, com velocidade inicial de 11 m / s. Determine:
a) a aceleração média durante o intervalo t=0 s a t=2 s
b) a velocidade instantânea no instante t=2 s.

Passo 1

Resumindo o enunciado: uma partícula se move ao longo do eixo x com aceleração
a(t)=(9-18t)e^-3t,
e sua velocidade inicial é v(0)=11 m/s. Precisamos determinar:
a) a aceleração média no intervalo de t=0 a t=2;
b) a velocidade instantânea em t=2.

Passo 2

Para obter a velocidade v(t) basta integrar a aceleração de 0 a t:
integral0^t a(s),ds =integral0^t(9-18s)e^-3s,ds
Note que
ddsl[(6s-1)e^-3sr] =(6)e^-3s-(6s-1),3e^-3s =(9-18s)e^-3s,
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integral0^t(9-18s)e^-3s,ds =l[(6s-1)e^-3sr]0^t =(6t-1)e^-3t-(-1) =(6t-1)e^-3t+1

Passo 3

A velocidade é
v(t)=v(0)+integral0^t a(s),ds =11+l[(6t-1)e^-3t+1r] =12+(6t-1)e^-3t
Verificamos v(0)=12+(-1)cdot1=11, conforme dado.

Passo 4

Substituindo t=2:
v(2)=12+(6cdot2-1)e^-6 =12+11e^-6 approx12,0273 m/s

Passo 5

A aceleração média em [0,2] é
am=v(2)-v(0)2-0 =l(12+11e^-6r)-112 =1+11e^-62 approx0,5136 m/s^2

Resposta

a) am=1+11e^-62approx0,5136 m/s^2
b) v(2)=12+11e^-6approx12,0273 m/s

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