Qual das seguintes expressões é equivalente a cot ^2(theta)+1:
(a) cot ^2(theta) cos ^2(theta)
(d) tg^2(theta) csc ^2(theta)
(b) tg^2(theta) sin ^2(theta)
(e) cot ^2(theta) sec ^2(theta)
© tg^2(theta) sec ^2(theta)

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos encontrar qual das expressões dadas é equivalente a cot^2(theta)+1. O conteúdo aqui é identidades trigonométricas pitagóricas envolvendo cotangente e cosecante.

Passo 2

Lembrando a identidade pitagórica para cotangente: cot^2(theta)+1=csc^2(theta). Portanto, nossa expressão alvo é csc^2(theta).

Passo 3

Agora vamos avaliar cada opção e ver qual delas é igual a csc^2(theta)=1/sin^2(theta):
  • (a) cot^2(theta)cos^2(theta)=cos^2!thetasin^2!thetacdotcos^2!theta=cos^4!thetasin^2!theta, que não é 1/sin^2!theta.
  • (b) tan^2(theta)sin^2(theta)=sin^2!thetacos^2!thetacdotsin^2!theta=sin^4!thetacos^2!theta, diferente de 1/sin^2!theta.
  • © tan^2(theta)sec^2(theta)=sin^2!thetacos^2!thetacdot1cos^2!theta=sin^2!thetacos^4!theta, não é 1/sin^2!theta.
  • (d) tan^2(theta)csc^2(theta)=sin^2!thetacos^2!thetacdot1sin^2!theta=1cos^2!theta=sec^2(theta), não bate com csc^2(theta).
  • (e) cot^2(theta)sec^2(theta)=cos^2!thetasin^2!thetacdot1cos^2!theta=1sin^2!theta=csc^2(theta).

Passo 4

Concluindo que a única opção que reproduz csc^2(theta) é a alternativa (e).

Resposta

(e) cot^2(theta)sec^2(theta)

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