Determine o domínio da função f(x)=1raizx-3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio da função f(x) = 1raizx - 3x^2 . Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de x essa função está definida. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções racionais e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para uma função estar bem definida:
  1. O denominador não pode ser zero.
  2. O que está dentro da raiz quadrada deve ser positivo (porque não dá para tirar a raiz de um número negativo no conjunto dos números reais).
Então, para a nossa função f(x) = 1raizx - 3x^2 , precisamos garantir que:
  1. raizx - 3x^2 neq 0
  2. x - 3x^2 > 0

Passo 3

Vamos começar resolvendo a segunda condição: x - 3x^2 > 0 .
Podemos fatorar essa expressão:
x - 3x^2 = x(1 - 3x)
Então, a inequação fica:
x(1 - 3x) > 0

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de x que tornam essa inequação verdadeira. Para isso, vamos:
  1. Encontrar os pontos críticos onde x(1 - 3x) = 0 . São eles:
    • x = 0
    • 1 - 3x = 0 => x = 13
  2. Dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos:
    • x < 0
    • 0 < x < 13
    • x > 13
  3. Testar um número de cada intervalo na inequação x(1 - 3x) > 0 :
    • Para x < 0 , por exemplo x = -1 :
(-1)(1 - 3(-1)) = (-1)(1 + 3) = (-1)(4) = -4 (menor que 0)
  • Para 0 < x < 13 , por exemplo x = 16 :
(16)(1 - 3(16)) = (16)(1 - 12) = (16)(12) = 112 (maior que 0)
  • Para x > 13 , por exemplo x = 1 :
(1)(1 - 3(1)) = (1)(1 - 3) = (1)(-2) = -2 (menor que 0)

Passo 5

Concluímos que a inequação x(1 - 3x) > 0 só é verdadeira no intervalo 0 < x < 13 . Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, mas como raizx - 3x^2 > 0 nesse intervalo, estamos tranquilos.

Resposta

O domínio da função f(x) = 1raizx - 3x^2 é todo número real x que está entre 0 e 13 . Em notação matemática:
boxed0 < x < dfrac13

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