Determine o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio da função
. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de
essa função está definida. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções racionais e raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para uma função estar bem definida:
- O denominador não pode ser zero.
- O que está dentro da raiz quadrada deve ser positivo (porque não dá para tirar a raiz de um número negativo no conjunto dos números reais).
Então, para a nossa função
, precisamos garantir que:
Passo 3
Vamos começar resolvendo a segunda condição:
.
Podemos fatorar essa expressão:
Então, a inequação fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
que tornam essa inequação verdadeira. Para isso, vamos:
- Encontrar os pontos críticos onde
. São eles: -
-
=>
-
- Dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos:
-
- Testar um número de cada intervalo na inequação
: - Para
, por exemplo :
- Para
- Para
, por exemplo :
- Para
, por exemplo :
Passo 5
Concluímos que a inequação
só é verdadeira no intervalo
. Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, mas como
nesse intervalo, estamos tranquilos.
Resposta
O domínio da função
é todo número real
que está entre 0 e
. Em notação matemática: