Usando o método de indução finita, prove que todo número
é divisível por 4
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o método de indução finita pra provar que todo número da forma
, onde
é um número natural, é divisível por 4. Isso significa que, independente do valor de
, quando a gente calcular
, o resultado sempre vai ser um múltiplo de 4.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir o caso base, que é o início da nossa prova por indução. Normalmente, começamos com
.
Calculando para
:
E 12 é divisível por 4, porque
. Então, o caso base está OK.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, suponha que:
Isso significa que existe um inteiro
tal que:
Passo 4
Nosso próximo passo é provar que a afirmação também é verdadeira para
. Ou seja, precisamos mostrar que:
Vamos manipular a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Agora, observe que
é claramente divisível por 4, porque 8 é múltiplo de 4. Então, focamos na parte:
Pela hipótese de indução, sabemos que
, que também é divisível por 4. Assim, toda a expressão
é a soma de dois múltiplos de 4, o que garante que também é múltiplo de 4.
Resposta
Portanto, por indução finita, mostramos que para todo número natural
,
é divisível por 4.