Usando o método de indução finita, prove que todo número 9^wed>= n +3, n in N é divisível por 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o método de indução finita pra provar que todo número da forma 9^n + 3, onde n é um número natural, é divisível por 4. Isso significa que, independente do valor de n, quando a gente calcular 9^n + 3, o resultado sempre vai ser um múltiplo de 4.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir o caso base, que é o início da nossa prova por indução. Normalmente, começamos com n = 1.
Calculando para n = 1:
9^1 + 3 = 9 + 3 = 12
E 12 é divisível por 4, porque 12 div 4 = 3. Então, o caso base está OK.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural k. Isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, suponha que:
9^k + 3 é divisível por 4 éí
Isso significa que existe um inteiro m tal que:
9^k + 3 = 4m

Passo 4

Nosso próximo passo é provar que a afirmação também é verdadeira para k + 1. Ou seja, precisamos mostrar que:
9^k+1 + 3 é divisível por 4 éí
Vamos manipular a expressão:
9^k+1 + 3 = 9 cdot 9^k + 3
Podemos reescrever isso como:
9 cdot 9^k + 3 = 8 cdot 9^k + 9^k + 3
Agora, observe que 8 cdot 9^k é claramente divisível por 4, porque 8 é múltiplo de 4. Então, focamos na parte:
9^k + 3
Pela hipótese de indução, sabemos que 9^k + 3 = 4m, que também é divisível por 4. Assim, toda a expressão 9^k+1 + 3 é a soma de dois múltiplos de 4, o que garante que também é múltiplo de 4.

Resposta

Portanto, por indução finita, mostramos que para todo número natural n, 9^n + 3 é divisível por 4.

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