Determine o domínio da função f e esboce a região de R^{2} que a representa:
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função f dada por f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}-1\right)^{-1}.
  • Esboçar (descrever) a região de \mathbb{R}^{2} que representa esse domínio.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A função é expressa por uma fração cujo denominador é x^{2}+y^{2}-1.
  • Não há outras restrições explícitas além da expressão dada.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui e qual é a regra prática que vamos usar?
  • O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} onde a expressão que define a função está bem definida (ou seja, não dá uma operação proibida).
  • Regra prática relevante para frações: uma expressão do tipo \dfrac{1}{\text{denominador}} só está definida quando o denominador é diferente de zero. Então devemos impor que o denominador não seja zero.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • O denominador é x^{2}+y^{2}-1.
  • Logo a condição necessária e suficiente para que f(x,y) esteja definida é
x^{2}+y^{2}-1 \neq 0.
  • Podemos rearranjar isso como
x^{2}+y^{2} \neq 1.

Passo 4

Escrever o domínio de forma explícita em notação de conjuntos:
  • O domínio é o conjunto de todos os pontos do plano cuja soma dos quadrados não é 1. Em notação:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 1\}.
  • Outra forma útil de separar o mesmo conjunto é como a união de dois subconjuntos (interior e exterior da circunferência unitária):
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2<1}\}\\ \cup\\ \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>1\}.
(Aqui usamos desigualdades estritas porque o caso x^{2}+y^{2}=1 está excluído.)

Passo 5

Pequena nota sobre topologia e conectividade (útil para interpretação gráfica):
  • Cada uma das partes \{x^{2}+y^{2}<1\} e \{x^{2}+y^{2}>1\} é um conjunto aberto no plano (porque são definidos por desigualdades estritas).
  • O domínio é a união de duas componentes abertas disjuntas: o disco aberto de raio 1 (interior) e o complemento do fecho desse disco (a região externa), portanto o domínio não é conectado — tem duas peças separadas.
  • A fronteira que foi removida é a circunferência unitária \{(x,y):x^{2}+y^{2=1}\}.

Passo 6

Exemplos práticos para ganhar confiança:
  • Em (0,0) temos x^{2}+y^{2}-1 = -1 \neq 0, então f(0,0) = -1 está definido.
  • Em (1,0) temos x^{2}+y^{2}-1 = 0, então f(1,0) não está definido (ponto excluído).
  • Em (0,2) temos x^{2}+y^{2}-1 = 3 > 0, então f(0,2)=1/3 está definido.

Passo 7

Dica passo a passo para esboçar a região no papel (como o professor vai querer ver na prova):
  1. Desenhar os eixos x e y.
  2. Marcar e desenhar a circunferência de centro (0,0) e raio 1. Faça a linha da circunferência tracejada para indicar que os pontos sobre ela NÃO pertencem ao domínio.
  3. Sombreie (ou indique de alguma forma) tanto o interior da circunferência (todo o disco com r<1) quanto o exterior (toda a parte do plano com r>1). Ambos fazem parte do domínio.
  4. Opcional: colocar uma legenda dizendo “circunferência x^{2}+y^{2}=1 excluída” e indicar que interior e exterior estão incluídos.

Passo 8

Outra descrição conveniente (coordenadas polares):
  • Em coordenadas polares (r,\theta) tem-se x^{2}+y^{2}=r^{2}. A condição fica r^{2}\neq 1, ou seja r\neq 1.
  • Portanto o domínio em polares é \{(r,\theta)\mid r\ge 0,\\ r\neq 1,\\ \theta\in[0,2\pi)\}, que corresponde exatamente ao disco r<1 mais a região externa r>1.

Passo 9

Observação útil sobre o sinal de f (para interpretação rápida de valores):
  • Se x^{2}+y^{2}<1 (dentro do círculo), então x^{2}+y^{2}-1<0 e f(x,y)<0.
  • Se x^{2}+y^{2}>1 (fora do círculo), então x^{2}+y^{2}-1>0 e f(x,y)>0.
    Isso pode ajudar a checar resultados numéricos rapidamente na prova.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\neq 1\}
Região: o plano \mathbb{R}^{2} com a circunferência unitária \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2=1}\} removida — ou seja, união do disco aberto x^{2}+y^{2}<1 e da região externa x^{2}+y^{2}>1.

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