Determine o domínio da função
e esboce a região de
que a representa:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função
dada por . - Esboçar (descrever) a região de
que representa esse domínio.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A função é expressa por uma fração cujo denominador é
. - Não há outras restrições explícitas além da expressão dada.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui e qual é a regra prática que vamos usar?
- O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pontos
onde a expressão que define a função está bem definida (ou seja, não dá uma operação proibida). - Regra prática relevante para frações: uma expressão do tipo
só está definida quando o denominador é diferente de zero. Então devemos impor que o denominador não seja zero.
Passo 3
Aplicando a regra ao nosso caso:
- O denominador é
. - Logo a condição necessária e suficiente para que
esteja definida é
- Podemos rearranjar isso como
Passo 4
Escrever o domínio de forma explícita em notação de conjuntos:
- O domínio é o conjunto de todos os pontos do plano cuja soma dos quadrados não é
. Em notação:
- Outra forma útil de separar o mesmo conjunto é como a união de dois subconjuntos (interior e exterior da circunferência unitária):
(Aqui usamos desigualdades estritas porque o caso
está excluído.)
Passo 5
Pequena nota sobre topologia e conectividade (útil para interpretação gráfica):
- Cada uma das partes
e é um conjunto aberto no plano (porque são definidos por desigualdades estritas). - O domínio é a união de duas componentes abertas disjuntas: o disco aberto de raio
(interior) e o complemento do fecho desse disco (a região externa), portanto o domínio não é conectado — tem duas peças separadas. - A fronteira que foi removida é a circunferência unitária
.
Passo 6
Exemplos práticos para ganhar confiança:
- Em
temos , então está definido. - Em
temos , então não está definido (ponto excluído). - Em
temos , então está definido.
Passo 7
Dica passo a passo para esboçar a região no papel (como o professor vai querer ver na prova):
- Desenhar os eixos
e . - Marcar e desenhar a circunferência de centro
e raio . Faça a linha da circunferência tracejada para indicar que os pontos sobre ela NÃO pertencem ao domínio. - Sombreie (ou indique de alguma forma) tanto o interior da circunferência (todo o disco com
) quanto o exterior (toda a parte do plano com ). Ambos fazem parte do domínio. - Opcional: colocar uma legenda dizendo “circunferência
excluída” e indicar que interior e exterior estão incluídos.
Passo 8
Outra descrição conveniente (coordenadas polares):
- Em coordenadas polares
tem-se . A condição fica , ou seja . - Portanto o domínio em polares é
, que corresponde exatamente ao disco mais a região externa .
Passo 9
Observação útil sobre o sinal de
(para interpretação rápida de valores):
- Se
(dentro do círculo), então e . - Se
(fora do círculo), então e .
Isso pode ajudar a checar resultados numéricos rapidamente na prova.
Resposta
Região: o plano