Seja \mathrm{g}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}, determine \mathrm{g}(1,-1,-1), \mathrm{g}(-1,1 / 2,3 / 2) e \mathrm{g}(\mathrm{x} / 2, \mathrm{y} / 2, \mathrm{z} / 2)

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{g}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2} - z^{2}} e pede três avaliações:
  • calcular \mathrm{g}(1,-1,-1);
  • calcular \mathrm{g}\!\bigl(-1,\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr);
  • calcular \mathrm{g}\!\bigl(\tfrac{x}{2},\tfrac{y}{2},\tfrac{z}{2}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição de \mathrm{g} envolve uma raiz quadrada real, então o argumento da raiz deve ser maior ou igual a zero para a função estar bem definida em números reais.
  • Para avaliar \mathrm{g} em um ponto, basta substituir as coordenadas na expressão 4 - x^{2} - y^{2} - z^{2} e simplificar.

Passo 2

Primeiro lembrete didático importante sobre funções com raiz quadrada: a raiz quadrada real \sqrt{\cdot} exige que o que está dentro seja não negativo. Ou seja, a função \mathrm{g}(x,y,z) está definida em pontos que satisfazem
4 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0.
Isto é apenas para checar se as substituições que faremos dão um número real. Agora vamos avaliar ponto a ponto, mostrando todas as contas.

Passo 3

Avaliar \mathrm{g}(1,-1,-1). Substituindo x=1, y=-1, z=-1 em 4 - x^{2} - y^{2} - z^{2}:
4 - 1^{2} - (-1)^{2} - (-1)^{2} = 4 - 1 - 1 - 1.
Agora somar e subtrair:
4 - 1 - 1 - 1 = 1.
Portanto
\mathrm{g}(1,-1,-1) = \sqrt{1} = 1.

Passo 4

Avaliar \mathrm{g}\!\bigl(-1,\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr). Primeiro calcular os quadrados:
(-1)^{2} = 1,\qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2} = \tfrac{1}{4},\qquad \left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} = \tfrac{9}{4}.
Somando:
1 + \tfrac{1}{4} + \tfrac{9}{4} = 1 + \tfrac{10}{4} = 1 + \tfrac{5}{2}.
Escrever 1 como \tfrac{2}{2} para somar facilmente:
1 + \tfrac{5}{2} = \tfrac{2}{2} + \tfrac{5}{2} = \tfrac{7}{2}.
Então o argumento da raiz é
4 - \tfrac{7}{2}.
Calcular isso escrevendo 4 como \tfrac{8}{2}:
\tfrac{8}{2} - \tfrac{7}{2} = \tfrac{1}{2}.
Portanto
\mathrm{g}\!\bigl(-1,\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr) = \sqrt{\tfrac{1}{2}}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{\tfrac{1}{2}} = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Avaliar \mathrm{g}\!\bigl(\tfrac{x}{2},\tfrac{y}{2},\tfrac{z}{2}\bigr) simbolicamente. Primeiro calcular os quadrados das coordenadas:
\left(\tfrac{x}{2}\right)^{2} = \tfrac{x^{2}}{4},\qquad \left(\tfrac{y}{2}\right)^{2} = \tfrac{y^{2}}{4},\qquad \left(\tfrac{z}{2}\right)^{2} = \tfrac{z^{2}}{4}.
Somando-os:
\tfrac{x^{2}}{4} + \tfrac{y^{2}}{4} + \tfrac{z^{2}}{4} = \tfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4}.
Substituir na expressão dentro da raiz:
4 - \tfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4}.
Colocar na mesma fração escrevendo 4 = \tfrac{16}{4}:
\tfrac{16}{4} - \tfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4} = \tfrac{16 - (x^{2}+y^{2}+z^{2})}{4}.
Agora tirar a raiz quadrada:
\sqrt{\tfrac{16 - (x^{2}+y^{2}+z^{2})}{4}} = \tfrac{1}{2}\sqrt{\,16 - x^{2} - y^{2} - z^{2}\,}.
Portanto a forma simplificada é
\mathrm{g}\!\bigl(\tfrac{x}{2},\tfrac{y}{2},\tfrac{z}{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\sqrt{\,16 - x^{2} - y^{2} - z^{2}\,}.
Lembrete de domínio para essa expressão real: é preciso que
16 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0,
ou seja x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 16.

Resposta

1
\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\dfrac{1}{2}\sqrt{16 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}

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