Determine o domínio da função:
F(x)=\sin ^{-1}\left(x^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de F(x)=\sin^{-1}(x^{2}-1). Como a função \sin^{-1}(z) (arcsin) só está definida quando -1\le z\le1, precisamos impor essa condição ao argumento z=x^{2}-1.

Passo 2

Escrevemos a desigualdade de domínio:
-1 \le x^{2}-1 \le 1.

Passo 3

Somando 1 em todas as partes da desigualdade, obtemos
0 \le x^{2} \le 2.
Repare que x^{2}\ge0 é sempre verdadeiro para todo x\in\mathbb{R}, restando apenas
x^{2}\le2.

Passo 4

A desigualdade x^{2}\le2 equivale a
-\sqrt{2}\,\le\,x\,\le\,\sqrt{2}.

Resposta

[-\sqrt{2},\,\sqrt{2}]

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