Resolva as inequações
Passo 1
O que o problema pede: resolver a inequação
, ou seja, encontrar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão à esquerda é um valor absoluto, que é sempre não negativo:
para todo . - Portanto, para que exista solução devemos ter a parte direita não negativa:
. - Ponto de mudança do sinal dentro do valor absoluto:
quando . Isso separa os dois casos para remover o valor absoluto.
Resumo das condições que usaremos:
- Domínio possível por causa do lado direito:
- Dividiremos a análise em dois intervalos conforme o sinal de
: - Caso A:
(a expressão dentro do módulo é ); - Caso B:
(a expressão dentro do módulo é ).
- Caso A:
Passo 2
Breve lembrete teórico (útil na prova): se uma expressão
aparece, uma estratégia é separar por sinal de
.
- Se
então . - Se
então .
Aqui. Então em cada caso substituímos e resolvemos uma inequação linear comum, lembrando sempre de intersectar com o intervalo onde a substituição é válida.
Passo 3
Caso A:
.
Neste intervalo temos , então
. A inequação fica
Neste intervalo temos
Resolvendo passo a passo:
Adicionar
aos dois lados:
Somar os termos em
:
. Então
Somar
aos dois lados:
Multiplicar por
:
Agora intersectamos com o intervalo do caso:
.
Portanto, do Caso A obtemos a solução .
Portanto, do Caso A obtemos a solução
Passo 4
Caso B:
.
Aqui , então
. A inequação vira
Aqui
Resolvendo:
Subtrair
de ambos os lados:
Calcular
:
Somar
aos dois lados:
Multiplicar por
:
Agora intersectamos com o intervalo do caso:
.
Portanto, do Caso B obtemos a solução .
Portanto, do Caso B obtemos a solução
Passo 5
Juntando as soluções dos dois casos e lembrando que não há solução para
(pois aí o lado direito é negativo, o que torna impossível
número negativo), obtemos a união
Verificações rápidas (sanidade):
- Em
temos igualdade (satisfeito). - Em
também temos igualdade (satisfeito). - Para
com a desigualdade falha (por exemplo não satisfaz). - Para
o lado direito é negativo e não há solução.