Resolva as inequações
|-2 x+3| \leq \frac{3}{2} x-1

Passo 1

O que o problema pede: resolver a inequação \lvert -2x+3\rvert \leq \dfrac{3}{2}x-1, ou seja, encontrar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão à esquerda é um valor absoluto, que é sempre não negativo: \lvert -2x+3\rvert \geq 0 para todo x.
  • Portanto, para que exista solução devemos ter a parte direita não negativa: \dfrac{3}{2}x-1 \geq 0.
  • Ponto de mudança do sinal dentro do valor absoluto: -2x+3=0 quando x=\dfrac{3}{2}. Isso separa os dois casos para remover o valor absoluto.
Resumo das condições que usaremos:
  • Domínio possível por causa do lado direito: \dfrac{3}{2}x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{2}{3}.
  • Dividiremos a análise em dois intervalos conforme o sinal de -2x+3:
    • Caso A: x\in\left[\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{2}\right] (a expressão dentro do módulo é \geq 0);
    • Caso B: x>\dfrac{3}{2} (a expressão dentro do módulo é <0).

Passo 2

Breve lembrete teórico (útil na prova): se uma expressão \lvert u\rvert aparece, uma estratégia é separar por sinal de u.
  • Se u\ge 0 então \lvert u\rvert = u.
  • Se u<0 então \lvert u\rvert = -u.
    Aqui u=-2x+3. Então em cada caso substituímos e resolvemos uma inequação linear comum, lembrando sempre de intersectar com o intervalo onde a substituição é válida.

Passo 3

Caso A: x\in\left[\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{2}\right].
Neste intervalo temos -2x+3 \ge 0, então \lvert -2x+3\rvert = -2x+3. A inequação fica
-2x+3 \le \frac{3}{2}x-1.
Resolvendo passo a passo:
-2x+3 \le \frac{3}{2}x-1
Adicionar 2x aos dois lados:
3 \le \frac{3}{2}x + 2x -1
Somar os termos em x: \frac{3}{2}x+2x=\frac{3+4}{2}x=\frac{7}{2}x. Então
3 \le \frac{7}{2}x -1
Somar 1 aos dois lados:
4 \le \frac{7}{2}x
Multiplicar por \dfrac{2}{7}:
x \ge \frac{8}{7}.
Agora intersectamos com o intervalo do caso: \left[\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{2}\right]\cap\left[\dfrac{8}{7},\infty\right)=\left[\dfrac{8}{7},\dfrac{3}{2}\right].
Portanto, do Caso A obtemos a solução \left[\dfrac{8}{7},\dfrac{3}{2}\right].

Passo 4

Caso B: x>\dfrac{3}{2}.
Aqui -2x+3<0, então \lvert -2x+3\rvert = -( -2x+3)=2x-3. A inequação vira
2x-3 \le \frac{3}{2}x-1.
Resolvendo:
2x-3 \le \frac{3}{2}x-1
Subtrair \frac{3}{2}x de ambos os lados:
2x - \frac{3}{2}x -3 \le -1
Calcular 2x-\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}x:
\frac{1}{2}x -3 \le -1
Somar 3 aos dois lados:
\frac{1}{2}x \le 2
Multiplicar por 2:
x \le 4.
Agora intersectamos com o intervalo do caso: (\tfrac{3}{2},\infty)\cap(-\infty,4]=\left(\tfrac{3}{2},4\right].
Portanto, do Caso B obtemos a solução \left(\tfrac{3}{2},4\right].

Passo 5

Juntando as soluções dos dois casos e lembrando que não há solução para x<\dfrac{2}{3} (pois aí o lado direito é negativo, o que torna impossível \lvert\cdot\rvert \le número negativo), obtemos a união
\left[\frac{8}{7},\frac{3}{2}\right]\cup\left(\frac{3}{2},4\right] = \left[\frac{8}{7},4\right].
Verificações rápidas (sanidade):
  • Em x=\dfrac{8}{7} temos igualdade (satisfeito).
  • Em x=4 também temos igualdade (satisfeito).
  • Para x<\dfrac{8}{7} com x\ge\dfrac{2}{3} a desigualdade falha (por exemplo x=1 não satisfaz).
  • Para x<\dfrac{2}{3} o lado direito é negativo e não há solução.

Resposta

\left[\dfrac{8}{7},4\right]

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