Determine o domínio da função:
f(x)=\log _{x+1}\left(x^{2}+3 x-18\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\log_{x+1}\bigl(x^{2}+3x-18\bigr).
Para isso precisamos lembrar que, em \log_{a}(b), a base a deve satisfazer a>0 e a\neq1, e o argumento b deve ser positivo b>0.

Passo 2

Analisando a base a=x+1:
x+1>0\quad\Longrightarrow\quad x>-1,
e
x+1\neq1\quad\Longrightarrow\quad x\neq0.

Passo 3

Analisando o argumento b=x^{2}+3x-18, resolvemos a inequação
x^{2}+3x-18>0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 3^{2}-4\cdot1\cdot(-18)=9+72=81,\quad \sqrt{\Delta}=9.
As raízes são
x = \frac{-3\pm9}{2}\;\Longrightarrow\;x=-6\quad\text{ou}\quad x=3.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e
x^{2}+3x-18>0\quad\Longrightarrow\quad x<-6\;\text{ou}\;x>3.

Passo 4

Agora intersectamos as condições:
  • x>-1 e x\neq0 (da base),
  • x<-6 ou x>3 (do argumento).
A única parte em comum é x>3.

Resposta

O domínio de f é (3,\infty).

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