Determine o domínio e a imagem da função:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}\cos (x) \text { se } x \leq 0 \\\\ 2^{x} \text { se } x>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio e a imagem da função
f(x)= \begin{cases} \cos(x), & x\le 0,\\\\ 2^x, & x>0. \end{cases}
O conteúdo envolvido é entender domínio (todos os x em que a regra faz sentido) e imagem (conjunto de valores f(x)).

Passo 2

Para o domínio, observamos cada ramo:
  • \cos(x) está definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • 2^x também está definido para todo x\in\mathbb{R}.
    Como a função usa \cos(x) em x\le0 e 2^x em x>0, a união dessas regiões é
(-\infty,0]\;\cup\;(0,\infty)\;=\;\mathbb{R}.
Logo, o domínio de f é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Agora a imagem. Primeiro, o ramo \cos(x) para x\le0. Como \cos(x) é periódico e contínuo, em qualquer intervalo ilimitado para a esquerda ele atinge todos os valores de [-1,1]. Portanto
\{\cos(x)\mid x\le0\} = [-1,1].

Passo 4

Em seguida, o ramo 2^x para x>0. A função exponencial 2^x em x>0 varia de forma estritamente crescente de 2^0=1 (não incluído, pois x>0) até +\infty. Assim
\{2^x\mid x>0\} = (1,\infty).

Passo 5

A imagem total de f é a união dos dois intervalos obtidos:
[-1,1]\;\cup\;(1,\infty)\;=\;[-1,\infty).
Note que 1 está incluído (vem de \cos(0)=1) e todos os valores maiores que 1 vêm de 2^x.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: [-1,\infty).

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