Estude a continuídade da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a continuidade da função
no ponto
. Isso significa que precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto específico. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, nosso objetivo é calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se isso é igual a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
e
na função:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que se
se aproxima de
, então podemos substituir
e
, onde
e
são valores que tendem a 0.
Substituindo na função:
Explicando rapidamente, estamos ajustando
e
para ver como a função se comporta perto de
.
Passo 5
Explicando a continuidade: se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto (
), então a função é contínua em
.
No nosso caso, após simplificar e calcular o limite, veremos que:
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, podemos concluir que a função
é contínua no ponto
.