Estude a continuídade da função f(x, y)=10 x yx^2+y^2 no ponto (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a continuidade da função f(x, y) = 10xyx^2 + y^2 no ponto (1,1). Isso significa que precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto específico. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f(x, y) é contínua no ponto (a, b) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (a, b) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b)
Então, nosso objetivo é calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (1,1) e ver se isso é igual a f(1,1) .

Passo 3

Vamos calcular f(1,1) . Substituindo x = 1 e y = 1 na função:
f(1,1) = 10 times 1 times 11^2 + 1^2 = 102 = 5
Então, f(1,1) = 5 .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (1,1):
lim(x, y) to (1,1) 10xyx^2 + y^2
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que se (x, y) se aproxima de (1,1), então podemos substituir x = 1 + h e y = 1 + k , onde h e k são valores que tendem a 0.
Substituindo na função:
10(1 + h)(1 + k)(1 + h)^2 + (1 + k)^2
Explicando rapidamente, estamos ajustando x e y para ver como a função se comporta perto de (1,1).

Passo 5

Explicando a continuidade: se o limite da função quando (x, y) se aproxima de (1,1) for igual ao valor da função nesse ponto ( f(1,1) = 5 ), então a função é contínua em (1,1).
No nosso caso, após simplificar e calcular o limite, veremos que:
lim(x, y) to (1,1) 10xyx^2 + y^2 = 5

Resposta

Como o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (1,1) é igual a f(1,1) = 5 , podemos concluir que a função f(x, y) = 10xyx^2 + y^2 é contínua no ponto (1,1).

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