Determine o domínio da função vetorial r(t)=12 raizt i+cos (3 t) j-ln (16-t^2) k

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse problema que manda encontrar o domínio da função vetorial r(t)=12 raizt i+cos (3 t) j-ln (16-t^2) k. O conteúdo aqui envolve funções vetoriais e a determinação do conjunto de valores de t para os quais todas as componentes da função estão bem definidas. Vamos precisar analisar cada parte da função para ver onde ela funciona direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a componente 12 raizt i. Aqui, temos uma fração que envolve uma raiz quadrada de t.
  • Raiz Quadrada: A raiz quadrada de um número é definida apenas para números maiores ou iguais a zero. Então, t tem que ser maior que 0 porque a raiz de zero dá 0, e não podemos ter divisão por zero na fração.
    Portanto, t > 0 .

Passo 3

Agora, vamos para a componente cos (3 t) j. A função cosseno está sempre definida para todos os números reais.
  • Coseno: Não tem restrição aqui. Pode valer qualquer valor de t.
Então, essa parte não limita o domínio.

Passo 4

Por último, a componente -ln (16-t^2) k. A função logaritmo natural está definida apenas para argumentos positivos.
  • Logaritmo Natural: Para ln(16 - t^2) ser válido, precisamos que 16 - t^2 > 0.
    Resolvendo isso:
16 - t^2 > 0 Rightarrow t^2 < 16 Rightarrow -4 < t < 4
Então, t está entre -4 e 4.

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as restrições encontradas:
  • Da primeira componente: t > 0 .
  • Da terceira componente: -4 < t < 4 .
Para que todas as partes da função estejam definidas ao mesmo tempo, precisamos que t satisfaça ambas as condições. Ou seja, t tem que ser maior que 0 e menor que 4.

Resposta

O domínio da função vetorial é 0 < t < 4.

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