Determine o domínio da função vetorial
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver esse problema que manda encontrar o domínio da função vetorial
. O conteúdo aqui envolve funções vetoriais e a determinação do conjunto de valores de
para os quais todas as componentes da função estão bem definidas. Vamos precisar analisar cada parte da função para ver onde ela funciona direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a componente
. Aqui, temos uma fração que envolve uma raiz quadrada de
.
-
Raiz Quadrada: A raiz quadrada de um número é definida apenas para números maiores ou iguais a zero. Então,
tem que ser maior que 0 porque a raiz de zero dá 0, e não podemos ter divisão por zero na fração. Portanto,.
Passo 3
Agora, vamos para a componente
. A função cosseno está sempre definida para todos os números reais.
- Coseno: Não tem restrição aqui. Pode valer qualquer valor de
.
Então, essa parte não limita o domínio.
Passo 4
Por último, a componente
. A função logaritmo natural está definida apenas para argumentos positivos.
-
Logaritmo Natural: Para
ser válido, precisamos que . Resolvendo isso:
Então,
está entre -4 e 4.
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as restrições encontradas:
- Da primeira componente:
. - Da terceira componente:
.
Para que todas as partes da função estejam definidas ao mesmo tempo, precisamos que
satisfaça ambas as condições. Ou seja,
tem que ser maior que 0 e menor que 4.
Resposta
O domínio da função vetorial é
.