Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n^2-n+3n^2+3 n;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a série
sumn=1^infty n^2-n+3n^2+3n
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Limite. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando n fica bem grande. Olhando para a expressão:
n^2-n+3n^2+3n
A gente observa que os termos de maior grau no numerador e no denominador são n^2 . Então, pra simplificar, podemos dividir cada termo por n^2 :
n^2-n+3n^2+3n = 1 - 1n + 3n^21 + 3n

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite desse termo conforme n tende ao infinito:
limn to infty 1 - 1n + 3n^21 + 3n
Lembrando que qualquer termo com 1n ou 1n^2 vai para zero quando n cresce sem limites. Assim, simplificamos:
limn to infty 1 - 0 + 01 + 0 = 11 = 1

Passo 4

Segundo o Teste da Limite, se o limite dos termos da série for diferente de zero, a série diverge. No nosso caso, o limite foi 1, que é diferente de zero.

Resposta

A série diverge.

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