Determine se a série converge ou diverge.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Limite. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando
fica bem grande. Olhando para a expressão:
A gente observa que os termos de maior grau no numerador e no denominador são
. Então, pra simplificar, podemos dividir cada termo por
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite desse termo conforme
tende ao infinito:
Lembrando que qualquer termo com
ou
vai para zero quando
cresce sem limites. Assim, simplificamos:
Passo 4
Segundo o Teste da Limite, se o limite dos termos da série for diferente de zero, a série diverge. No nosso caso, o limite foi 1, que é diferente de zero.
Resposta
A série diverge.