Resolva a EDO:
x(x+1) y^{\prime \prime}+\left(2-x^{2}\right) y^{\prime}-(2+x) y=(x+1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
x(x+1)\,y'' + \bigl(2 - x^2\bigr)\,y' - (2+x)\,y = (x+1)^2.
O conteúdo envolvido é solução de EDO linear: primeiro encontramos a solução geral da homogênea, depois uma solução particular.

Passo 2

Buscamos uma solução particular y_p\) polinomial de grau 2, \(y_p = a x^2 + b x + c\). Calculamos \[y_p' = 2a x + b, \qquad y_p'' = 2a
e substituímos na EDO. Após agrupar os termos, obtemos o sistema
\begin{cases} -3a = 0,\\\\ -2b = 1,\\\\ 6a -2b -c = 2,\\\\ 2b -2c = 1, \end{cases}
cuja solução é a=0\], \(b=-\tfrac12, c=-1. Logo
y_p = -\tfrac12 x -1.

Passo 3

Agora resolvemos a homogênea
x(x+1)\,y'' + (2 - x^2)\,y' - (2+x)\,y =0.
Testando y_1 = 1/x, temos
y_1' = -\frac1{x^2},\quad y_1''=\frac{2}{x^3},
e verifica-se diretamente que satisfaz a homogênea. Então y_1(x)=1/x é uma solução.

Passo 4

Para achar uma segunda solução y_2, usamos redução de ordem. Na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0,
temos
p(x)=\frac{2 - x^2}{x(x+1)}.
O segundo solutório é
y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int p\,dx}}{y_1^2}\,dx.
Fazendo a decomposição parcial
p(x)=-1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1},
integramos para obter
e^{-\int p\,dx} = e^{\,x}\,\frac{x+1}{x^2}.
Então
y_2 = \frac1{x}\int e^x(x+1)\,dx = \frac1{x}\bigl(xe^x\bigr) = e^x.

Passo 5

A solução geral da homogênea é
y_h = C_1\frac1{x} + C_2 e^x.
Somando a particular, a solução geral da equação original fica
y(x) = C_1\frac1{x} + C_2 e^x \;-\;\frac{x}{2}\;-\;1.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{C_1}{x} + C_2 e^x - \frac{x}{2} - 1.}

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