Determine o domínio das funções abaixo:
f(x)=\sqrt{\frac{x \cdot(x+9)}{x-4}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{x\,(x+9)}{x-4}}.
O conteúdo envolvido é o domínio de uma função com raiz quadrada de uma expressão racional. Para ter f(x) bem definida precisamos que o radicando seja não-negativo e o denominador diferente de zero.

Passo 2

Impondo as condições de domínio, temos simultaneamente
\frac{x\,(x+9)}{x-4}\ge0 \quad\text{e}\quad x-4\neq0.
A segunda condição elimina x=4. A primeira é uma inequação de sinal de fração, que resolvemos encontrando zeros e os pontos de descontinuidade.

Passo 3

Os pontos críticos da inequação são:
– zeros do numerador em x=0 e x=-9;
– zero do denominador em x=4 (que não entra no domínio).

Passo 4

Fazemos o estudo de sinais em cada intervalo determinado por -\infty, -9, 0, 4 e +\infty:
– Para x>4: numerador x(x+9)>0, denominador x-4>0 ⇒ fração >0.
– Para 0<x<4: numerador >0, denominador <0 ⇒ fração <0.
– Para -9<x<0: numerador x<0 e x+9>0 ⇒ numerador <0, denominador x-4<0 ⇒ fração >0.
– Para x<-9: numerador x<0 e x+9<0 ⇒ numerador >0, denominador x-4<0 ⇒ fração <0.
Nos pontos x=-9 e x=0 a fração é zero, o que é permitido (radicando zero).

Passo 5

Da análise de sinais, a condição \frac{x(x+9)}{x-4}\ge0 vale para
-9\le x\le0 \quad\text{ou}\quad x>4,
lembrando de excluir x=4.

Resposta

O domínio de f é
[-9,0]\cup(4,\infty).

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