Nas questões de 1 a 5, assinale \mathbf{V} se a afirmação é verdadeira e \mathbf{F} se for falsa:
Questão 2 - Determinantes
a) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. ( )
b) Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, o determinante é nulo. ( )
c) Multiplicar uma linha de uma matriz por uma constante k multiplica o determinante por k. ( )
d) O determinante de uma matriz e de sua transposta são diferentes. ( )
e) Se uma matriz é invertível, então seu determinante é diferente de zero. ( )

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre determinantes como verdadeiras ou falsas. O conteúdo central é teoria de determinantes de matrizes quadradas e suas propriedades elementares.

Passo 2

Afirmação (a): “O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.”
Esta é uma propriedade básica de determinantes: se A é triangular superior ou inferior, então
\det(A)=\prod_{i=1}^{n}a_{ii}.
Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, o determinante é nulo.”
Isso decorre da propriedade de antissimetria do determinante: trocar duas linhas inverte o sinal de \det. Se as linhas já são iguais, trocar não altera a matriz mas deveria mudar o sinal, o que só é possível se \det=0.
Portanto, (b) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Multiplicar uma linha de uma matriz por uma constante k multiplica o determinante por k.”
Esse é um dos tipos de operação elementar de linha: ao multiplicar uma linha de A por k, o novo determinante é k\det(A).
Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): “O determinante de uma matriz e de sua transposta são diferentes.”
Na verdade vale sempre
\det(A^T)=\det(A),
pois a transposição não altera o valor do determinante.
Assim, (d) é falsa.

Passo 6

Afirmação (e): “Se uma matriz é invertível, então seu determinante é diferente de zero.”
Isso é exatamente a condição de invertibilidade de uma matriz quadrada A:
A\text{ invertível}\quad\Longleftrightarrow\quad\det(A)\neq0.í
Portanto, (e) é verdadeira.

Resposta

a) \mathbf{V}
b) \mathbf{V}
c) \mathbf{V}
d) \mathbf{F}
e) \mathbf{V}

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