Nas questões de 1 a 5, assinale
se a afirmação é verdadeira e
se for falsa:
Questão 2 - Determinantes
a) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. ( )
b) Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, o determinante é nulo. ( )
c) Multiplicar uma linha de uma matriz por uma constante
multiplica o determinante por
. ( )
d) O determinante de uma matriz e de sua transposta são diferentes. ( )
e) Se uma matriz é invertível, então seu determinante é diferente de zero. ( )
Questão 2 - Determinantes
a) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. ( )
b) Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, o determinante é nulo. ( )
c) Multiplicar uma linha de uma matriz por uma constante
d) O determinante de uma matriz e de sua transposta são diferentes. ( )
e) Se uma matriz é invertível, então seu determinante é diferente de zero. ( )
Passo 1
O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre determinantes como verdadeiras ou falsas. O conteúdo central é teoria de determinantes de matrizes quadradas e suas propriedades elementares.
Passo 2
Afirmação (a): “O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal.”
Esta é uma propriedade básica de determinantes: se é triangular superior ou inferior, então
Esta é uma propriedade básica de determinantes: se
Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Afirmação (b): “Se duas linhas de uma matriz quadrada são iguais, o determinante é nulo.”
Isso decorre da propriedade de antissimetria do determinante: trocar duas linhas inverte o sinal de . Se as linhas já são iguais, trocar não altera a matriz mas deveria mudar o sinal, o que só é possível se
.
Portanto, (b) é verdadeira.
Isso decorre da propriedade de antissimetria do determinante: trocar duas linhas inverte o sinal de
Portanto, (b) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “Multiplicar uma linha de uma matriz por uma constante
multiplica o determinante por
.”
Esse é um dos tipos de operação elementar de linha: ao multiplicar uma linha de por
, o novo determinante é
.
Logo, (c) é verdadeira.
Esse é um dos tipos de operação elementar de linha: ao multiplicar uma linha de
Logo, (c) é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “O determinante de uma matriz e de sua transposta são diferentes.”
Na verdade vale sempre
Na verdade vale sempre
pois a transposição não altera o valor do determinante.
Assim, (d) é falsa.
Assim, (d) é falsa.
Passo 6
Afirmação (e): “Se uma matriz é invertível, então seu determinante é diferente de zero.”
Isso é exatamente a condição de invertibilidade de uma matriz quadrada :
Isso é exatamente a condição de invertibilidade de uma matriz quadrada
Portanto, (e) é verdadeira.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)