Determine o domínio das funções abaixo:
f(x)=\sqrt{\frac{x+9}{x-4}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{\frac{x+9}{x-4}}
Este problema envolve duas restrições: o denominador não pode ser zero e o radicando da raiz quadrada deve ser não negativo.

Passo 2

Anotamos as condições:
  1. Denominador não pode ser zero, ou seja x\neq4.
  2. O radicando deve satisfazer
\frac{x+9}{x-4}\ge0.

Passo 3

Para resolver a inequação
\frac{x+9}{x-4}\ge0
identificamos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador se anulam:
– Numerador zero em x=-9.
– Denominador zero em x=4 (já excluído).
Agora analisamos o sinal em cada intervalo:
  • Se x< -9, então x+9<0 e x-4<0, logo \tfrac{x+9}{x-4}>0.
  • Se -9<x<4, então x+9>0 e x-4<0, logo \tfrac{x+9}{x-4}<0.
  • Se x>4, então x+9>0 e x-4>0, logo \tfrac{x+9}{x-4}>0.
    No ponto x=-9 o quociente vale zero, permitido pelo “≥”.

Passo 4

Combinando tudo, temos solução da inequação em
(-\infty,\,-9]\cup(4,\infty),
excluindo x=4 por anular o denominador.

Resposta

O domínio de f é
(-\infty,\,-9]\cup(4,\infty).

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