Determine o domínio das funções abaixo. Justifique sua resposta.
f(x)=\sqrt{3+\cos (2 x+1)}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\sqrt{3+\cos\bigl(2x+1\bigr)}.
O conteúdo é domínio de função composta e precisamos usar a condição de existência da raiz quadrada: o radicando deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Para que f(x) esteja bem definida, é preciso satisfazer
3+\cos\bigl(2x+1\bigr)\ge0.

Passo 3

Sabemos que \cos\theta varia no intervalo [-1,1] para todo \theta. Logo,
-1\le\cos\bigl(2x+1\bigr)\le1.

Passo 4

Somando 3 em toda a desigualdade, obtemos
3-1\le3+\cos\bigl(2x+1\bigr)\le3+1 \qquad\Longrightarrow\qquad 2\le3+\cos\bigl(2x+1\bigr)\le4.
Portanto, o radicando está sempre no intervalo [2,4], que é inteiro não-negativo.

Passo 5

Como 3+\cos(2x+1)\ge2>0 para todo x, a condição de existência da raiz está sempre satisfeita.

Resposta

O domínio de f é \;(-\infty,\infty).

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