Um tanque, com forma de cilindro circular reto, contém água com profundidade de 9 m . Se retirarmos o tampão do fundo em t=0 (em horas) e depois de 1 hora a profundidade da água diminui para 4 m , quanto tempo levará para o tanque se esvaziar?

Passo 1

O enunciado nos dá um tanque cilíndrico de área da base A com água inicialmente em profundidade h(0)=9 m. Ao remover o tampão do fundo em t=0, o escoamento segue a Lei de Torricelli, gerando uma equação diferencial da forma
\frac{dh}{dt}=-k\sqrt{h}.
Sabemos que h(1)=4 m e queremos achar o instante T em que h(T)=0.

Passo 2

A Lei de Torricelli diz que a velocidade de saída é v=\sqrt{2g\,h} e o fluxo volumétrico é Q=a\sqrt{2g\,h}, onde a é a área do orifício. Como o volume é V=A\,h, tem-se
\frac{dV}{dt}=A\frac{dh}{dt}=-a\sqrt{2g\,h}.
Dividindo por A e definindo k=\frac{a}{A}\sqrt{2g}, obtemos
\frac{dh}{dt}=-k\sqrt{h}.

Passo 3

Separamos variáveis:
\frac{dh}{\sqrt{h}}=-k\,dt.
Integrando de t=0 a t e de h=9 a h(t), resulta
2\sqrt{h}=-k\,t + C.
No instante t=0, \sqrt{h(0)}=3, logo C=6. Portanto
\sqrt{h}=3-\frac{k}{2}\,t.

Passo 4

Usando h(1)=4, vem \sqrt{4}=2, isto é
2=3-\frac{k}{2}\,\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{k}{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad k=2.
Substituindo em \sqrt{h}=3-\tfrac{k}{2}t, obtemos
\sqrt{h}=3-t.

Passo 5

O esvaziamento ocorre quando h=0. Assim,
0=3-t \quad\Longrightarrow\quad t=3.

Resposta

O tanque se esvazia completamente em 3 horas.

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