Estude o sinal
f(x)=\frac{x^{2}-5 x+6}{|2 x+2|}

Passo 1

O enunciado pede o estudo de sinal da função
f(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{|2x+2|}.
O conteúdo é análise de sinal de quociente envolvendo valor absoluto. Vamos precisar determinar o domínio, os zeros do numerador, o sinal do numerador em cada intervalo e o fato de que o denominador |2x+2| é sempre não negativo.

Passo 2

Determinamos o domínio resolvendo |2x+2|\neq0, ou seja,
2x+2\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq-1.
Logo o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 3

Fatoramos o numerador:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Assim os zeros do numerador são x=2 e x=3.

Passo 4

O denominador é |2x+2|. Sabemos que |2x+2|>0 para todo x\neq-1. Portanto em todo o domínio o denominador é positivo, não afetando o sinal do quociente além de não trocar sinais.

Passo 5

Analisamos o sinal do numerador (x-2)(x-3):
  • Para x<2, temos x-2<0 e x-3<0, logo (x-2)(x-3)>0.
  • Para 2<x<3, temos x-2>0 e x-3<0, logo (x-2)(x-3)<0.
  • Para x>3, temos x-2>0 e x-3>0, logo (x-2)(x-3)>0.
    Em x=2 ou x=3 o numerador é zero.

Passo 6

Como o denominador é sempre positivo no domínio, o sinal de f(x) segue o sinal do numerador. De forma resumida:
  • f(x)>0 quando x\in(-\infty,2)\cup(3,\infty), exceto o ponto x=-1 onde f não está definida.
  • f(x)=0 em x=2 e em x=3.
  • f(x)<0 quando x\in(2,3).
  • f(x) é indefinida em x=-1.

Resposta

f(x)>0 se x\in(-\infty,-1)\cup(-1,2)\cup(3,\infty); f(x)=0 se x=2 ou x=3; f(x)<0 se x\in(2,3); f(x) indefinida em x=-1.

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