Estude o sinal
f(x)=(-3 x+6)\left(\frac{1}{4} x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sinal da função
f(x)=(-3x+6)\Bigl(\tfrac14x+2\Bigr).
O conteúdo aqui é análise de sinal de produto de fatores lineares. Vamos precisar identificar as raízes de cada fator e depois determinar em quais intervalos cada fator é positivo ou negativo.

Passo 2

Encontrar as raízes de cada fator:
-3x+6=0\quad\Longrightarrow\quad x=2,
\tfrac14x+2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-8.
Esses valores particionam a reta real em três intervalos: (-\infty,-8), (-8,2) e (2,\infty).

Passo 3

Analisar o sinal de cada fator em cada intervalo:
Para x< -8:
-3x+6> -3\cdot(-8)+6=24+6=30>0,
\tfrac14x+2< \tfrac14\cdot(-8)+2=-2+2=0.
Logo, em (-\infty,-8) temos um fator positivo e outro negativo, então
f(x)<0.
Para -8<x<2:
-3x+6> -3\cdot0+6=6>0,
\tfrac14x+2> \tfrac14\cdot0+2=2>0.
Ambos fatores são positivos, logo
f(x)>0.
Para x>2:
-3x+6< -3\cdot2+6=-6+6=0,
\tfrac14x+2> \tfrac14\cdot2+2=0,5+2=2,5>0.
Um fator é negativo e o outro positivo, então
f(x)<0.

Resposta

\displaystyle f(x)=0 em x=-8 e x=2.
\displaystyle f(x)>0 para x\in(-8,2).
\displaystyle f(x)<0 para x\in(-\infty,-8)\cup(2,\infty).

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