Use a série do Exemplo 13(b) para calcular
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} x-x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x - x}{x^{3}}
usando a série de potências (Série de Taylor) da função tangente no entorno de x=0, conforme o Exemplo 13(b). Para isso, vamos lembrar a expansão de \operatorname{tg}x até a ordem x^{3}.

Passo 2

A Série de Taylor de \operatorname{tg}x em torno de 0 dá, até o termo cúbico,
\operatorname{tg}x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3}).
Aqui o(x^{3}) representa termos de ordem superior a x^{3} que vão desaparecer quando dividirmos por x^{3} e tomarmos o limite.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, temos
\operatorname{tg}x - x = \Bigl(x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})\Bigr) - x = \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3}).

Passo 4

Agora dividimos por x^{3} e extraímos o limite:
\frac{\operatorname{tg}x - x}{x^{3}} = \frac{\frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})}{x^{3}} = \frac{1}{3} + o(1) \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x - x}{x^{3}} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

Exercícios relacionados